Question

3．如圖甲所示，MN、PQ為間距L=0.5m足夠長的平行導(dǎo)軌，NQ⊥MN，導(dǎo)軌的電阻均不計．導(dǎo)軌平面與水平面間的夾角θ=37°，NQ間連接有一個R=4Ω的電阻．有一勻強磁場垂直于導(dǎo)軌平面且方向向上，磁感應(yīng)強度為B₀=1_T，將一根質(zhì)量為m=0.05kg的金屬棒ab緊靠NQ放置在導(dǎo)軌上，且與導(dǎo)軌接觸良好．現(xiàn)由靜止釋放金屬棒，當金屬棒滑行至cd處時達到穩(wěn)定速度，已知在此過程中通過金屬棒截面的電量q=0.2C，且金屬棒的加速度a與速度v的關(guān)系如圖乙所示，設(shè)金屬棒沿導(dǎo)軌向下運動過程中始終與NQ平行．（取g=10m/s²，sin37°=0.6，cos37°=0.8）求：
（1）金屬棒與導(dǎo)軌間的動摩擦因數(shù)μ和cd離NQ的距離S．
（2）金屬棒滑行至cd處的過程中，電阻R上產(chǎn)生的熱量．
（3）若將金屬棒滑行至cd處的時刻記作t=0，從此時刻起，讓磁感應(yīng)強度逐漸減小，為使金屬棒中不產(chǎn)生感應(yīng)電流，則磁感應(yīng)強度B應(yīng)怎樣隨時間t變化（寫出B與t的關(guān)系式）．

Answer 1

分析 （1）對金屬棒進行受力分析，達到穩(wěn)定速度時，即為做勻速運動，根據(jù)平衡條件列出等式求解．
（2）根據(jù)能量守恒得，重力勢能減小轉(zhuǎn)化為動能、摩擦產(chǎn)生的內(nèi)能和回路中產(chǎn)生的焦耳熱．
（3）要使金屬棒中不產(chǎn)生感應(yīng)電流，則穿過線框的磁通量不變．同時棒受到重力、支持力與滑動摩擦力做勻加速直線運動．從而可求出磁感應(yīng)強度B應(yīng)怎樣隨時間t變化的．

解答 解：（1）剛釋放金屬棒時結(jié)合圖象由牛頓第二定律有：
mgsinθ-μmgcosθ=ma
代入數(shù)據(jù)解得：μ=0.5
結(jié)合圖象分析得知：當速度為v=2m/s時a=0金屬棒達到穩(wěn)定速度處于平衡狀態(tài)．對金屬棒由平衡方程有：
mgsinθ=F_A+μmgcosθ
安培力為：F_A=B₀IL
由閉合電路歐姆定律有：
I=$\frac{E}{R+r}$
電動勢為：E=B₀Lv
代入數(shù)據(jù)解得：r=1Ω
q=It=$\frac{△Φ}{R+r}$=$\frac{{B}_{0}Ls}{R+r}$
代入數(shù)據(jù)解得：s=2m
（2）金屬棒從靜止滑行至cd處的過程中由動能定理有：
mgssinθ-μmgscosθ-W_A=$\frac{1}{2}$mv²-0
由能量守恒定律有：Q=W_A=0.1J；
由能量分配關(guān)系有：QR=$\frac{R}{R+r}Q$=$\frac{4}{4+1}×0.1$=0.08J
（3）當回路中總磁通量不變時，回路中無感應(yīng)電流，金屬棒做勻加速運動，由牛頓第二定律有：
mgsinθ-μmgcosθ=ma
代入數(shù)據(jù)：a=2m/s²
磁通量關(guān)系為
B₀Ls=B（vt+$\frac{1}{2}at$²）
解得：B=$\frac{2}{2+2t+{t}^{2}}$
答：（1）金屬棒與導(dǎo)軌間的動摩擦因數(shù)μ和cd離NQ的距離S為2m；
（2）金屬棒滑行至cd處的過程中，電阻R上產(chǎn)生的熱量為0.08J；
（3）若將金屬棒滑行至cd處的時刻記作t=0，從此時刻起，讓磁感應(yīng)強度逐漸減小，為使金屬棒中不產(chǎn)生感應(yīng)電流，則磁感應(yīng)強度B應(yīng)怎樣隨時間t變化式為B=$\frac{2}{2+2t+{t}^{2}}$

點評 本題考查了牛頓運動定律、閉合電路毆姆定律，安培力公式、感應(yīng)電動勢公式，還有能量守恒．同時當金屬棒速度達到穩(wěn)定時，則一定是處于平衡狀態(tài)，原因是安培力受到速度約束的．還巧妙用磁通量的變化去求出面積從而算出棒的距離．最后線框的總磁通量不變時，金屬棒中不產(chǎn)生感應(yīng)電流是解題的突破點．