Question

8．天文學(xué)家將相距較近、僅在彼此的引力作用下運行的兩顆恒星稱為雙星．雙星系統(tǒng)在銀河系中很普遍．某雙星系統(tǒng)中兩顆恒星圍繞它們連線上的某一固定點分別做勻速圓周運動，己知引力常量G、兩顆恒星之間的距離為r、周期均為T和其中一顆恒星的質(zhì)量為m（兩顆恒星的質(zhì)量不同），則以下正確的是（　　）

• A． 可以求出另一個恒星的質(zhì)量
• B． 每顆恒星的線速度與自身的軌道半徑成反比
• C． 每顆恒星的周期與自身的軌道半徑成正比
• D． 每顆恒星的質(zhì)量與自身的軌道半徑成正比

Answer 1

分析 這是一個雙星的問題，兩顆恒星圍繞它們連線上的某一固定點分別做勻速圓周運動，它們之間的萬有引力提供各自的向心力，兩顆恒星有相同的角速度和周期，結(jié)合牛頓第二定律和萬有引力定律解決問題．

解答 解：設(shè)另一個恒星的質(zhì)量為M，兩顆恒星圍繞它們連線上的某一固定點分別做勻速圓周運動，它們之間的萬有引力提供各自的向心力，兩顆恒星有相同的角速度和周期，故C錯誤；
根據(jù)牛頓第二定律：$G\frac{Mm}{{r}_{\;}^{2}}=M\frac{4{π}_{\;}^{2}}{{T}_{\;}^{2}}{r}_{1}^{\;}=m\frac{4{π}_{\;}^{2}}{{T}_{\;}^{2}}{r}_{2}^{\;}$①
得$\frac{{r}_{1}^{\;}}{{r}_{2}^{\;}}=\frac{m}{M}$，每顆恒星的質(zhì)量與自身的軌道半徑成反比，故D錯誤；
根據(jù)v=ωr，因為雙星的角速度相等，所以每顆恒星的線速度與自身的軌道半徑成正比，故B錯誤；
由①得$Gm{T}_{\;}^{2}=4{π}_{\;}^{2}{r}_{1}^{\;}{r}_{\;}^{2}$
 $GM{T}_{\;}^{2}=4{π}_{\;}^{2}{r}_{2}^{\;}{r}_{\;}^{2}$
$G（M+m）{T}_{\;}^{2}=4{π}_{\;}^{2}（{r}_{1}^{\;}+{r}_{2}^{\;}）{r}_{\;}^{2}$=$4{π}_{\;}^{2}{r}_{\;}^{3}$
得$M=\frac{4{π}_{\;}^{2}{r}_{\;}^{3}}{G{T}_{\;}^{2}}-m$，故可以求出另一個恒星的質(zhì)量，故A正確；
故選：A

點評 本題是雙星問題，與衛(wèi)星繞地球運動模型不同，兩顆星都繞同一圓心做勻速圓周運動，關(guān)鍵抓住條件：相同的角速度和周期．