Question

15．如圖所示，一質(zhì)量為M=4.0kg的平板車靜止在粗糙水平地面上，其右側(cè)某位置有一障礙物A，一質(zhì)量為m=2.0kg可視為質(zhì)點(diǎn)的滑塊，以v₀=10m/s的初速度從左端滑上平板車，同時(shí)對(duì)平板車施加一水平向右的恒力F使平板車向右做加速運(yùn)動(dòng)．當(dāng)滑塊運(yùn)動(dòng)到平板車的最右端時(shí)，二者恰好相對(duì)靜止，此時(shí)撤去恒力F，小車在地面上繼續(xù)運(yùn)動(dòng)一段距離L=4m后與障礙物A相碰．碰后，平板車立即停止運(yùn)動(dòng)，滑塊水平飛離平板車后，恰能無(wú)碰撞地沿圓弧切線從B點(diǎn)切入光滑豎直圓弧軌道，并沿軌道下滑，測(cè)得通過(guò)C點(diǎn)時(shí)對(duì)軌道的壓力為86N．已知滑塊與平板車間的動(dòng)摩擦因數(shù)μ₁=0.5、平板車與地面間μ₂=0.2，圓弧半徑為R=1.0m，圓弧所對(duì)的圓心角∠BOD=θ=106°．取g=10m/s²，sin53°=0.8，cos53°=0.6．試求：

（1）AB之間的距離；
（2）作用在平板車上的恒力F大小及平板車的長(zhǎng)度．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)牛頓第二定律，結(jié)合對(duì)軌道的壓力求出C點(diǎn)的速度，根據(jù)動(dòng)能定理求出B點(diǎn)的速度，對(duì)B點(diǎn)的速度進(jìn)行分解，求出豎直分速度和水平分速度，結(jié)合平拋運(yùn)動(dòng)的規(guī)律求出AB之間的距離．
（2）根據(jù)牛頓第二定律求出撤去拉力后的加速度，結(jié)合速度位移公式求出物塊與平板車達(dá)到的共同速度，根據(jù)牛頓第二定律和運(yùn)動(dòng)學(xué)公式，結(jié)合相對(duì)位移的大小求出平板車的長(zhǎng)度，以及拉力的大�。�

解答 解：（1）對(duì)小物塊在C點(diǎn)由牛頓第二定律得，${F}_{N}-mg=m\frac{{{v}_{C}}^{2}}{R}$，
代入數(shù)據(jù)解得${v}_{C}=\sqrt{33}$m/s．   
 從B到C，由動(dòng)能定理有：$mgR（1-cos53°）=\frac{1}{2}m{{v}_{C}}^{2}-\frac{1}{2}m{{v}_{B}}^{2}$，
代入數(shù)據(jù)解得v_B=5m/s，
在B點(diǎn)，由幾何關(guān)系有：v_y=v_Bsin53°=5×0.8m/s=4m/s，v=v_Bcos53°=5×0.6m/s=3m/s．
從A到B，設(shè)小物塊作平拋運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t，則有：v_y=gt得，t=$\frac{{v}_{y}}{g}=\frac{4}{10}s=0.4s$，
則AB之間的水平距離x=vt=3×0.4m=1.2m．
（2）設(shè)物塊與平板車達(dá)共同速度v_共后，物塊與平板車一起向右減速滑行，設(shè)此過(guò)程加速度大小為a，則：$a=\frac{{μ}_{2}（M+m）g}{M+m}={μ}_{2}g=0.2×10m/{s}^{2}$=2m/s²．
由${v}^{2}-{{v}_{共}}^{2}=-2aL$得，代入數(shù)據(jù)解得v_共=5m/s．
對(duì)物塊，沖上平板車后做加速度大小為a₁的勻減速運(yùn)動(dòng)，對(duì)平板車，物塊沖上后做加速度大小為a₂的勻加速運(yùn)動(dòng)，經(jīng)時(shí)間t₁達(dá)共同速度v_共．
依題意對(duì)小物塊有：${a}_{1}={μ}_{1}g=0.5×10m/{s}^{2}=5m/{s}^{2}$，
由v_共=v₀-a₁t₁得，代入數(shù)據(jù)解得t₁=1s．
對(duì)平板車：v_共=a₂t₁，解得${a}_{2}=\frac{5}{1}m/{s}^{2}=5m/{s}^{2}$，
根據(jù)牛頓第二定律得，F(xiàn)+μ₁mg-μ₂（M+m）g=Ma₂，代入數(shù)據(jù)解得F=22N．
小物塊的位移：${x}_{物}=\frac{{v}_{0}+{v}_{共}}{2}{t}_{1}=\frac{10+5}{2}×1m=7.5m$，
平板車的位移：${x}_{車}=\frac{{v}_{共}}{2}{t}_{1}=\frac{5}{2}×1m=2.5m$，
所以小車的長(zhǎng)度L=x_物-x_車=7.5-2.5m=5m．
答：（1）AB之間的距離位1.2m；
（2）作用在平板車上的恒力F大小為22N，平板車的長(zhǎng)度為5m．

點(diǎn)評(píng) 分析清楚滑塊在每個(gè)過(guò)程的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，根據(jù)物體的運(yùn)動(dòng)的過(guò)程來(lái)逐個(gè)求解，本題中用到了勻變速直線運(yùn)動(dòng)、平拋運(yùn)動(dòng)和圓周運(yùn)動(dòng)的規(guī)律，涉及的知識(shí)點(diǎn)較多，要求學(xué)生要熟練的應(yīng)用每一部分的知識(shí)．