Question

（2013?珠海二模）如圖所示，一個(gè)質(zhì)量為m的長(zhǎng)木板靜止在光滑的水平面上，并與半徑為R的

1

4

光滑圓弧形固定軌道接觸（但不粘連），木板的右端到豎直墻的距離為S；另一質(zhì)量為2m的小滑塊從軌道的最高點(diǎn)由靜止開始下滑，從圓弧的最低點(diǎn)A滑上木板．設(shè)長(zhǎng)木板每次與豎直墻的碰撞時(shí)間極短且無機(jī)械能損失．已知滑塊與長(zhǎng)木板間的動(dòng)摩擦因數(shù)為μ．試求
（1）滑塊到達(dá)A點(diǎn)時(shí)對(duì)軌道的壓力的大小
（2）若滑塊不會(huì)滑離長(zhǎng)木板，試討論長(zhǎng)木板與墻第一次碰撞前的速度v與S的關(guān)系
（3）若S足夠大，為了使滑塊不滑離長(zhǎng)木板，板長(zhǎng)L應(yīng)滿足什么條件．

Answer 1

分析：（1）滑塊下滑過程機(jī)械能守恒，先根據(jù)守恒定律求解A點(diǎn)速度；再A點(diǎn)重力和支持力的合力提供向心力，根據(jù)牛頓第二定律求解支持力；最后根據(jù)牛頓第三定律求解壓力；
（2）先假設(shè)S足夠大，最后滑塊與木板有共同速度，根據(jù)動(dòng)量守恒定律求解出共同速度；然后對(duì)木板運(yùn)用動(dòng)能定理列式求解木板滑動(dòng)的距離；
最后分情況討論；
（3）滑塊最終和長(zhǎng)木板一起靜止在地面上，根據(jù)功能關(guān)系列式求解．

解答：解：（1）滑塊從軌道的最高點(diǎn)到最低點(diǎn)，機(jī)械能守恒，設(shè)到達(dá)A點(diǎn)的速度為v_A
則 

1

2

2mvA2=2mgR①
得：vA=

2gR

②
在A點(diǎn)有：NA-2mg=

2mvA2

R

③
由②③得：N_A=6mg④
由牛頓第三定律，滑塊在A點(diǎn)對(duì)軌道的壓力 NA′=6mg⑤
（2）若第一次碰撞前的瞬間，滑塊與木板達(dá)到共同速度v，
則：（2m+m）v=2mv_A⑥
μ2mgS=

1

2

mv2⑦
由②⑥⑦得：S=

2R

9μ

⑧
�。�若S≥

2R

9μ

，則木板與墻第一次碰前瞬間的速度為v=

2

3

2gR

⑨
ⅱ．若S＜

2R

9μ

，則木板與墻第一次碰前瞬間的速度為v'
則：

1

2

mv′2=μ2mgS⑩
得：v'=2

μgS

（3）因?yàn)镾足夠大，每次碰前滑塊與木板共速；因?yàn)镸＜m，每次碰后系統(tǒng)的總動(dòng)量方向向右，要使滑塊不滑離長(zhǎng)木板，最終木板停在墻邊，滑塊停在木板上．
由能量守恒得：μ2mgL≥

1

2

2mvA2
解得：L≥

R

μ

答：（1）滑塊到達(dá)A點(diǎn)時(shí)對(duì)軌道的壓力的大小為6mg；
（2）長(zhǎng)木板與墻第一次碰撞前的速度v與S的關(guān)系：
若S≥

2R

9μ

，則木板與墻第一次碰前瞬間的速度為v=

2

3

2gR

；
若S＜

2R

9μ

，木板與墻第一次碰前瞬間的速度為v'=2

μgS

；
（3）若S足夠大，為了使滑塊不滑離長(zhǎng)木板，板長(zhǎng)L應(yīng)滿足L≥

R

μ

的條件．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了機(jī)械能守恒定律和動(dòng)量守恒定律，還要根據(jù)“一對(duì)滑動(dòng)摩擦力做功等于系統(tǒng)內(nèi)能增加量”列式，涉及的知識(shí)點(diǎn)較多，對(duì)學(xué)生的能力要求較強(qiáng)．