Question

質(zhì)量為m的小球（可看作質(zhì)點(diǎn)）在豎直放置的光滑圓環(huán)軌道內(nèi)運(yùn)動(dòng)，如圖所示，小球在最高點(diǎn)A時(shí)的速度為

2gR

，其中R為圓環(huán)的半徑．求：
（1）小球經(jīng)過(guò)最低點(diǎn)C時(shí)的速度；
（2）小球在最低點(diǎn)C對(duì)圓環(huán)的壓力；
（3）小球到達(dá)位置B時(shí)的角速度．

Answer 1

（1）小球從最高點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到最低點(diǎn)的過(guò)程中機(jī)械能守恒，設(shè)小球到達(dá)最低點(diǎn)時(shí)的速度大小為v_C，根據(jù)機(jī)械能守恒定律
mg2R+

1

2

mv_A²=

1

2

mv_C²                            
解得vC=

6gR

                        
（2）小球在最低點(diǎn)C時(shí)，受到的合外力提供小球做圓周運(yùn)動(dòng)的向心力，設(shè)軌道對(duì)小球的支持力為N，根據(jù)牛頓第二定律和圓周運(yùn)動(dòng)公式
N-mg=m

vC2

R

                       
解得：N=7mg                              
根據(jù)牛頓第三定律，小球?qū)�軌道的壓�?br>N′=N=7mg                         
（3）設(shè)小球運(yùn)動(dòng)到B點(diǎn)時(shí)的速度大小為v_B，根據(jù)機(jī)械能守恒定律
mgR（1-sin30°）+

1

2

mv_A²=

1

2

mv_B²         
解得：vB=

3gR

             
由圓周運(yùn)動(dòng)角速度ω與線速度v的關(guān)系，得小球在B點(diǎn)的角速度
ωB=

vB

R

=

3g R

           
答：（1）小球經(jīng)過(guò)最低點(diǎn)C時(shí)的速度為

6gR

；
（2）小球在最低點(diǎn)C對(duì)圓環(huán)的壓力為7mg；
（3）小球到達(dá)位置B時(shí)的角速度為

3g R

．