Question

如圖所示，一個四分之三內(nèi)壁光滑的圓弧軌道ABC，放置在豎直平面內(nèi)，圓弧軌道半徑為R，在A點(diǎn)與水平桌面AD相接，桌面與圓心O等高．MN是放在水平桌面上長為R、厚度不計的墊子（小球落在上面不反彈），左端M正好位于A點(diǎn)．將一個質(zhì)量為m的小球從A處正上方P點(diǎn)由靜止釋放，從A點(diǎn)沿切線進(jìn)入圓弧形軌道．不考慮空氣阻力．
（1）欲使小球沿軌道通過C點(diǎn)后落到N點(diǎn)，P點(diǎn)距水平桌面AD的高度是多少？落到N點(diǎn)時速度方向與水平方向的夾角θ多大？
（2）通過計算說明，小球沿圓弧軌道離開C點(diǎn)后能否再從A點(diǎn)進(jìn)入圓弧軌道．

Answer 1

分析：（1）離開C點(diǎn)小球做平拋運(yùn)動，由平拋運(yùn)動的規(guī)律可以求得C點(diǎn)速度的大小．P到C的過程中機(jī)械能守恒，即可求得P點(diǎn)的高度；
（2）小球從最高點(diǎn)到C點(diǎn)的過程中機(jī)械能守恒，根據(jù)機(jī)械能使守恒定律求解高度H，再根據(jù)自由落體運(yùn)動求解時間，從而求出時間比；
（3）小球下降的高度最高時，小球運(yùn)動的水平位移為4R，打到N點(diǎn)根據(jù)平拋運(yùn)動求得速度．根據(jù)機(jī)械能守恒定律求解．

解答：解：（1）設(shè)能夠落到N點(diǎn)，過C點(diǎn)時速度為v₁，根據(jù)運(yùn)動學(xué)公式可得：
豎直方向：R=

1

2

gt2
水平方向：2R=v₁t
設(shè)小球下落的高度為H，根據(jù)動能定理可知：mg(H-R)=

1

2

m

v

2 1

由以上式子可得：
H=2R
又由平拋運(yùn)動的規(guī)律的tanθ=

vy

vx

=2

R

2R

=1
θ=45⁰
（2）設(shè)小球恰好通過C點(diǎn)的速度為v₂
mg=m

v 2 2

R

v2=

gR

離開C點(diǎn)后作平拋運(yùn)動R=

1

2

gt2
x=v₂t
由上式的x=

2

R＞R不能從A點(diǎn)進(jìn)入圓弧軌道
若v2＜

gR

小球?qū)⒉荒苎貓A弧軌道通過C點(diǎn)．
故小球不可能沿圓弧軌道離開C點(diǎn)后再從A點(diǎn)進(jìn)入軌道．
答：（1）使小球沿軌道通過C點(diǎn)后落到N點(diǎn)，P點(diǎn)距水平桌面AD的高度是2R；落到N點(diǎn)時速度方向與水平方向的夾角θ是45°；
（2）小球沿圓弧軌道離開C點(diǎn)后不能再從A點(diǎn)進(jìn)入圓弧軌道．

點(diǎn)評：知道物體的運(yùn)動過程，根據(jù)物體的不同的運(yùn)動狀態(tài)，采用相應(yīng)的物理規(guī)律求解即可．