Question

某行星的半徑為R₁、自轉(zhuǎn)周期為T₁，它有一顆衛(wèi)星，繞行星公轉(zhuǎn)的軌道半徑為R₂、公轉(zhuǎn)周期為T₂．萬(wàn)有引力常量為G．求：
（l）該行星的質(zhì)量M；
（2）要在此行星的赤道上發(fā)射一顆質(zhì)量為m的靠近行星表面繞行的人造衛(wèi)星，使其軌道平面與行星的赤道平面重合，設(shè)行星上無(wú)氣體阻力，那么對(duì)人造衛(wèi)星至少應(yīng)做多少功？

Answer 1

（1）衛(wèi)星與行星之間的萬(wàn)有引力提供衛(wèi)星繞行星作勻速圓周運(yùn)動(dòng)的向心力，設(shè)衛(wèi)星的質(zhì)量為m，則有：
G

mM

R 22

=mR2

4π2

T2

可得行星的質(zhì)量M=

4π2 R 32

G T 22

（2）質(zhì)量為m的人造衛(wèi)星在靠近行星表面繞行時(shí)，可認(rèn)為其軌道半徑為R₁，設(shè)繞行速度為v，由萬(wàn)有引力提供向心力有：
G

mM

R 21

=m

v2

R1

該人造地球衛(wèi)星在此行星赤道上隨行星一起自轉(zhuǎn)的速度：
v0=

2πR1

T1

發(fā)射衛(wèi)星時(shí)至少應(yīng)對(duì)它做的功為W，由動(dòng)能定理得：
發(fā)射過(guò)程對(duì)衛(wèi)星做的功等于衛(wèi)星動(dòng)能的變化即：
W=

1

2

mv2-

1

2

m

v

20

∴可得：W=

2mπ2 R 32

T 22 R1

-

2mπ2R12

T 21

答：（l）該行星的質(zhì)量M=

4π2 R 22

G T 22

；
（2）要在此行星的赤道上發(fā)射一顆質(zhì)量為m的靠近行星表面繞行的人造衛(wèi)星，使其軌道平面與行星的赤道平面重合，設(shè)行星上無(wú)氣體阻力，那么對(duì)人造衛(wèi)星至少應(yīng)做功為：
W=

2mπ2 R 32

T 22 R1

-

2mπ2R12

T 21

．