Question

（2009?公安縣一模）“嫦娥一號”探月衛(wèi)星與稍早前日本的“月亮女神號”探月衛(wèi)星不同，“嫦娥一號”衛(wèi)星是繞月極地軌道上運(yùn)動的，加上月球自轉(zhuǎn)，因而“嫦娥一號”衛(wèi)星能探測到整個月球的表面．12月11日“嫦娥一號”衛(wèi)星CCD相機(jī)已對月球表面進(jìn)行成像探測，并獲取了月球背面部分區(qū)域的影像圖．衛(wèi)星在繞月極地軌道上做圓周運(yùn)動時距月球表面高為H，繞行的周期為T_M；月球地公轉(zhuǎn)的周期為T_E，半徑為R₀．地球半徑為R_E，月球半徑為R_M．試解答下列問題：
（1）若忽略地球及太陽引力對繞月衛(wèi)星的影響，試求月球與地球質(zhì)量之比；
（2）當(dāng)繞月極地軌道的平面與月球繞地公轉(zhuǎn)的軌道平面垂直，也與地心到月心的連線垂直（如圖所示）．此時探月衛(wèi)星向地球發(fā)送所拍攝的照片，此照片由探月衛(wèi)星傳送到地球最少需要多長時間？已知光速為c．

Answer 1

分析：（1）衛(wèi)星繞月做圓周運(yùn)動時，由月球的萬有引力提供向心力，知道距月球表面高為H，月球半徑為R_M，繞行的周期為T_M，根據(jù)由牛頓第二定律可求出月球的質(zhì)量．月球繞地球公轉(zhuǎn)時，由地球的萬有引力提供向心力，由月球公轉(zhuǎn)的周期為T_E，半徑為R₀．地球半徑為R_E，根據(jù)由牛頓第二定律可求出地球的質(zhì)量．
（2）根據(jù)幾何知識求出衛(wèi)星到地面最短距離，再求出時間．

解答：解：（1）由牛頓第二定律得F向=man=m(

2π

T

)2r
月球繞地公轉(zhuǎn)由萬有引力提供向心力得，G

M月M地

R 2 0

=M月(

2π

TE

)2R0
同理，探月衛(wèi)星繞月運(yùn)動時有：G

M月M衛(wèi)

(RM+H)2

=M衛(wèi)(

2π

TM

)2(RM+H)
由上兩式聯(lián)立解得：

M月

M地

=(

TE

TM

)2×(

RM+H

R0

)3；
（2）設(shè)探月極地軌道上衛(wèi)星到地心的距離為L₀，則衛(wèi)星到地面最短距離為L₀-R_E，由幾何知識得：
   L₀²=R₀²+（R_M+H）²
將照片發(fā)回地面的時間
t=

L0-RE

c

=

R 2 0 +(RM+H)2 -RE

c

答：（1）月球與地球質(zhì)量之比：

M月

M地

=(

TE

TM

)2×(

RM+H

R0

)3；
    （2）探月衛(wèi)星傳送到地球最少需要

R 2 0 +(RM+H)2 -RE

c

時間．

點評：本題是計算天體質(zhì)量問題，利用萬有引力與圓周運(yùn)動知識的結(jié)合求解環(huán)繞天體的質(zhì)量，是常用方法之一．