Question

14．如圖所示是某中學學生根據(jù)回旋加速器原理設計的一個小型粒子加速器的原理示意圖，區(qū)域Ⅰ和區(qū)域Ⅱ存在勻強磁場B1和B₂．在寬度為d的區(qū)域Ⅲ內(nèi)存在一個勻強電場，電勢差大小為U，通過自動調(diào)整兩區(qū)域間的電勢高低可使進入該區(qū)域的電勢差大小恒為U，通過自動調(diào)整兩區(qū)域間的電勢高低可使進入該區(qū)域的粒子持續(xù)加速．在圖中A位置靜止釋放一個質(zhì)量為m，帶電量為q的正電粒子（重力不計），粒子經(jīng)過兩次電場加速后最終垂直于區(qū)域Ⅰ邊緣AE射出，一切阻力不計，求：
（1）粒子進入?yún)^(qū)域Ⅰ和區(qū)域Ⅱ的速度之比
（2）區(qū)域Ⅰ和區(qū)域Ⅱ的磁感應強度之比
（3）已知區(qū)域Ⅰ的磁感應強度B₁=B₀，求從粒子釋放到從區(qū)域Ⅰ邊緣飛出的總時間．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)動能定理求出粒子進入?yún)^(qū)域Ⅰ和區(qū)域Ⅱ的速度，再求比值；
（2）畫出軌跡，根據(jù)幾何關系得到半徑關系，根據(jù)半徑公式求磁感應強度之比；
（3）求出粒子在電場和磁場中的運動時間即為粒子釋放到從區(qū)域Ⅰ邊緣飛出的總時間

解答 解：（1）設粒子進入?yún)^(qū)域Ⅱ的速度為${v}_{Ⅱ}^{\;}$，根據(jù)動能定理有：
$qU=\frac{1}{2}m{v}_{Ⅱ}^{2}-0$
解得：${v}_{Ⅱ}^{\;}=\sqrt{\frac{2qU}{m}}$
設粒子進入?yún)^(qū)域Ⅰ的速度為${v}_{Ⅰ}^{\;}$，根據(jù)動能定理，有：
$qU=\frac{1}{2}m{v}_{Ⅰ}^{2}-\frac{1}{2}m{v}_{Ⅱ}^{2}$
解得：${v}_{Ⅰ}^{\;}=\sqrt{\frac{4qU}{m}}$
所以粒子進入?yún)^(qū)域Ⅰ和Ⅱ的速度之比為：$\frac{{v}_{Ⅰ}^{\;}}{{v}_{Ⅱ}^{\;}}=\sqrt{2}$
（2）畫出粒子運動的軌跡，如圖所示，由圖可知，在區(qū)域Ⅰ中的軌道半徑是區(qū)域Ⅱ中軌道半徑的2倍，由半徑公式有：
$R=\frac{mv}{qB}$
得：$B=\frac{mv}{qR}$
$\frac{{B}_{Ⅰ}^{\;}}{{B}_{Ⅱ}^{\;}}=\frac{{v}_{Ⅰ}^{\;}}{{v}_{Ⅱ}^{\;}}•\frac{{R}_{Ⅱ}^{\;}}{{R}_{Ⅰ}^{\;}}=\sqrt{2}×\frac{1}{2}=\frac{\sqrt{2}}{2}$
（3）區(qū)域Ⅰ的磁感應強度B₁=${B}_{0}^{\;}$，區(qū)域Ⅱ的磁感應強度由（2）知，${B}_{Ⅱ}^{\;}=\sqrt{2}{B}_{0}^{\;}$
粒子由靜止到區(qū)域Ⅱ的時間為：$d=\frac{{v}_{Ⅱ}^{\;}}{2}{t}_{1}^{\;}$，
得：${t}_{1}^{\;}=\frac{2d}{{v}_{Ⅱ}^{\;}}=2d\sqrt{\frac{m}{2qU}}=d\sqrt{\frac{2m}{qU}}$=$\sqrt{2}d\sqrt{\frac{m}{qU}}$
在磁場區(qū)域Ⅱ中的時間為：${t}_{2}^{\;}=\frac{1}{2}{T}_{Ⅱ}^{\;}=\frac{πm}{q{B}_{Ⅱ}^{\;}}=\frac{πm}{\sqrt{2}q{B}_{0}^{\;}}$
第二次在電場中加速的時間為：$d=\frac{1}{2}（\sqrt{\frac{2qU}{m}}+\sqrt{\frac{4qU}{m}}）{t}_{3}^{\;}$，
得：${t}_{3}^{\;}=\frac{2d}{2+\sqrt{2}}\sqrt{\frac{m}{qU}}=（2-\sqrt{2}）d\sqrt{\frac{m}{qU}}$
在磁場區(qū)域Ⅰ中運動的時間為：${t}_{4}^{\;}=\frac{1}{4}\frac{2πm}{q{B}_{0}^{\;}}=\frac{πm}{2q{B}_{0}^{\;}}$
從粒子釋放到從區(qū)域Ⅰ邊緣飛出的總時間為：t=$\frac{\sqrt{2}+1}{2}\frac{πm}{q{B}_{0}^{\;}}+2d\sqrt{\frac{m}{qU}}$
答：（1）粒子進入?yún)^(qū)域Ⅰ和區(qū)域Ⅱ的速度之比$\sqrt{2}$
（2）區(qū)域Ⅰ和區(qū)域Ⅱ的磁感應強度之比$\sqrt{2}：2$
（3）已知區(qū)域Ⅰ的磁感應強度B₁=B₀，從粒子釋放到從區(qū)域Ⅰ邊緣飛出的總時間$\frac{\sqrt{2}+1}{2}\frac{πm}{q{B}_{0}^{\;}}+2d\sqrt{\frac{m}{qU}}$

點評 解決該題的關鍵是根據(jù)題目的要求，正確畫出粒子運動的軌跡，并根據(jù)幾何關系寫出粒子的半徑與磁場的半徑的關系．記住粒子在磁場中勻速圓周運動的周期公式和半徑公式．