Question

如圖在豎直平面內(nèi)有水平向右、電場(chǎng)強(qiáng)度為E=1×10⁴N/C的勻強(qiáng)電場(chǎng)．在勻強(qiáng)電場(chǎng)中有一根長(zhǎng)L=2m的絕緣細(xì)線，一端固定在O點(diǎn)，另一端系一質(zhì)量為m=0.04kg的帶電小球，它靜止A點(diǎn)時(shí)懸線與豎直方向成θ=37°角．若小球恰好繞點(diǎn)在豎直平面內(nèi)做圓周運(yùn)動(dòng)，（cos37°=0.8g=10m/s²）試求：
（1）小球的帶電荷量Q
（2）小球動(dòng)能的最小值
（3）小球機(jī)械能的最小值（取小球靜止時(shí)的位置為電勢(shì)能零點(diǎn)和重力勢(shì)能零點(diǎn)）

Answer 1

分析：（1）根據(jù)小球在平衡位置合力為0，可以求出小球所受的電場(chǎng)力從而得出小球的帶電荷量；
（2）根據(jù)小球恰好在豎直面內(nèi)做圓周運(yùn)動(dòng)這一臨界條件，知，在平衡位置處合外力提供圓周運(yùn)動(dòng)的向心力從而求出小球動(dòng)能的最小值．
（3）抓住小球能量守恒，電勢(shì)能最大處小球的機(jī)械能最小，根據(jù)做功情況分析．

解答：解：（1）對(duì)小球進(jìn)行受力分析如上圖所示，

可得：

qE

mg

=tan37°．解得：小球的帶電量為 q=

mgtan37°

E

=3×10-5C．
（2）由于重力和電場(chǎng)力都是恒力，所以它們的合力也是恒力．

在圓上各點(diǎn)中，小球在平衡位置A點(diǎn)時(shí)的勢(shì)能（重力勢(shì)能和電勢(shì)能之和）最小，在平衡位置的對(duì)稱點(diǎn)B點(diǎn)，小球的勢(shì)能最大，由于小球總能量不變，所以在B點(diǎn)的動(dòng)能E_kB最小，對(duì)應(yīng)速度vB最小，在B點(diǎn)，小球受到的重力和電場(chǎng)力，其合力作為小球做圓周運(yùn)動(dòng)的向心力，而繩的拉力恰為零，有：
T=

mg

cos37°

=0.5N，而F合=

m v 2 B

L

，所以EKB=

1

2

m

v

2 B

=

1

2

F合L=0.5J
（3）由于總能量保持不變，即E_k+E_PG+E_PE=恒量．所以當(dāng)小球在圓上最左側(cè)的C點(diǎn)時(shí)，電勢(shì)能E_PE最大，機(jī)械能最小．
由B運(yùn)動(dòng)到A，W_合力=-（E_PA-E_PB），W_合力=F_合?2L，所以E_PB=2J
總能量E=E_PB+E_kB=2.5J．
由C→A，W_FE=F_E?L?（1+sin37°）=0.96J，W_FE=E_P2 （E_P2為C點(diǎn)電勢(shì)能）
所以C點(diǎn)的機(jī)械能為E_機(jī)C=E-E_P2=1.54J
答：（1）小球的帶電荷量Q=3×10^-5C
（2）小球動(dòng)能的最小值E_kmin=0.5J
（3）小球機(jī)械能的最小值（取小球靜止時(shí)的位置為電勢(shì)能零點(diǎn)和重力勢(shì)能零點(diǎn)）E_min=1.54J

點(diǎn)評(píng)：該題為小球在電場(chǎng)和重力場(chǎng)這一復(fù)合場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)問題，抓住重力和電場(chǎng)力的合力為恒力這一突破口解決本題．