Question

【題目】如圖，一輕彈簧原長為2R，其一端固定在傾角為37°的固定直軌道AC的底端A處，另一端位于直軌道上B處，彈簧處于自然狀態(tài)，直軌道與一半徑為 R的光滑圓弧軌道相切于C點(diǎn)，AC=7R，A、B、C、D均在同一豎直面內(nèi)．質(zhì)量為m的小物塊P自C點(diǎn)由靜止開始下滑，最低到達(dá)E點(diǎn)（未畫出），隨后P沿軌道被彈回，最高點(diǎn)到達(dá)F點(diǎn)，AF=4R，已知P與直軌道間的動(dòng)摩擦因數(shù)μ= ，重力加速度大小為g．（取sin37°= ，cos37°= ）
①求P第一次運(yùn)動(dòng)到B點(diǎn)時(shí)速度的大�。�
②求P運(yùn)動(dòng)到E點(diǎn)時(shí)彈簧的彈性勢能．
③改變物塊P的質(zhì)量，將P推至E點(diǎn)，從靜止開始釋放．已知P自圓弧軌道的最高點(diǎn)D處水平飛出后，恰好通過G點(diǎn)．G點(diǎn)在C點(diǎn)左下方，與C點(diǎn)水平相距 R、豎直相距R，求P運(yùn)動(dòng)到D點(diǎn)時(shí)速度的大小和改變后P的質(zhì)量．

Answer 1

【答案】解：①C到B的過程中重力和斜面的阻力做功，所以：

其中：
代入數(shù)據(jù)得：
②物塊返回B點(diǎn)后向上運(yùn)動(dòng)的過程中：

其中：
聯(lián)立得：
物塊P向下到達(dá)最低點(diǎn)又返回的過程中只有摩擦力做功，設(shè)最大壓縮量為x，則：

整理得：x=R
物塊向下壓縮彈簧的過程設(shè)克服彈力做功為W，則：

又由于彈簧增加的彈性勢能等于物塊克服彈力做的功，即：EP=W
所以：EP=2.4mgR
③由幾何關(guān)系可知圖中D點(diǎn)相當(dāng)于C點(diǎn)的高度：h=r+rcos37°=1.8r= =1.5R
所以D點(diǎn)相當(dāng)于G點(diǎn)的高度：H=1.5R+R=2.5R
小球做平拋運(yùn)動(dòng)的時(shí)間：t=
G點(diǎn)到D點(diǎn)的水平距離：L= =
由：L=vDt
聯(lián)立得：
E到D的過程中重力、彈簧的彈力、斜面的阻力做功，由功能關(guān)系得：

聯(lián)立得：m′=
答：①P第一次運(yùn)動(dòng)到B點(diǎn)時(shí)速度的大小是 ．②P運(yùn)動(dòng)到E點(diǎn)時(shí)彈簧的彈性勢能是2.4mgR．③改變物塊P的質(zhì)量，將P推至E點(diǎn)，從靜止開始釋放．已知P自圓弧軌道的最高點(diǎn)D處水平飛出后，恰好通過G點(diǎn)．G點(diǎn)在C點(diǎn)左下方，與C點(diǎn)水平相距 R、豎直相距R，求P運(yùn)動(dòng)到D點(diǎn)時(shí)速度的大小是 ，改變后P的質(zhì)量是 m．
【解析】①對(duì)物體從C到B的過程分析，由動(dòng)能定理列式可求得物體到達(dá)B點(diǎn)的速度； ②同①的方法求出物塊返回B點(diǎn)的速度，然后對(duì)壓縮的過程與彈簧伸長的過程應(yīng)用功能關(guān)系即可求出；③P離開D點(diǎn)后做平拋運(yùn)動(dòng)，將物塊的運(yùn)動(dòng)分解即可求出物塊在D點(diǎn)的速度，E到D的過程中重力、彈簧的彈力、斜面的阻力做功，由功能關(guān)系即可求出物塊P的質(zhì)量．本題考查功能關(guān)系、豎直面內(nèi)的圓周運(yùn)動(dòng)以及平拋運(yùn)動(dòng)，解題的關(guān)鍵在于明確能達(dá)到E點(diǎn)的，并能正確列出動(dòng)能定理及理解題目中公式的含義．
【考點(diǎn)精析】本題主要考查了彈性勢能和功能關(guān)系的相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，需要掌握彈性勢能是物體由于發(fā)生彈性形變而具有的能量；當(dāng)只有重力（或彈簧彈力）做功時(shí)，物體的機(jī)械能守恒；重力對(duì)物體做的功等于物體重力勢能的減少:W G =E p1 -E p2；合外力對(duì)物體所做的功等于物體動(dòng)能的變化:W 合 =E k2 -E k1 （動(dòng)能定理）；除了重力（或彈簧彈力）之外的力對(duì)物體所做的功等于物體機(jī)械能的變化:W F =E 2 -E 1才能正確解答此題．