Question

如圖1所示，在實(shí)驗(yàn)室的真空室內(nèi)，兩塊正對(duì)的平行金屬板水平放置．在兩板之間有一勻強(qiáng)電場(chǎng)，場(chǎng)強(qiáng)按圖2所示的規(guī)律變化（沿y軸方向?yàn)檎�方向）．在兩板正中間有一圓形垂直紙面向外的勻強(qiáng)磁場(chǎng)區(qū)域，磁感應(yīng)強(qiáng)度按圖3所示規(guī)律變化，如果建立如圖1所示的坐標(biāo)系，在t=0時(shí)刻，有一質(zhì)量m=9.0×10^-9kg、電荷量q=9.0×10^-6C的帶正電的小球，以v₀=1m/s的初速度沿y軸正方向從O點(diǎn)射入．試求：

（1）小球在勻強(qiáng)磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的軌跡長(zhǎng)度；
（2）小球再次到達(dá)x軸的坐標(biāo)；
（3）畫出小球從O點(diǎn)到再次到達(dá)x軸的運(yùn)動(dòng)軌跡示意圖（請(qǐng)標(biāo)注必要的角度和位置）．

Answer 1

分析：粒子進(jìn)入磁場(chǎng)后，受到電場(chǎng)力、重力和洛倫茲力，計(jì)算出重力與電場(chǎng)力的大小，得到它們大小相等，由洛倫茲力提供向心力，做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，設(shè)單位時(shí)間t=

π

60

s，根據(jù)牛頓第二定律求出粒子的軌跡半徑和周期T，根據(jù)t與T的關(guān)系，分析在第一、二個(gè)單位時(shí)間內(nèi)粒子在磁場(chǎng)中轉(zhuǎn)過的圓心角．在第三單位時(shí)間內(nèi)，用同樣的方法求出粒子在磁場(chǎng)中轉(zhuǎn)過的圓心角，畫出軌跡，確定經(jīng)過幾個(gè)單位時(shí)間，粒子剛好射出磁場(chǎng)，即可求得時(shí)間和離開磁場(chǎng)時(shí)的位置坐標(biāo)．

解答：解：（1）粒子進(jìn)入磁場(chǎng)后，受到電場(chǎng)力、重力和洛倫茲力，因?yàn)橹亓Υ笮��?G=mg=9.0×10^-9×10N=9.0×10^-8N．電場(chǎng)力F=qE=9.0×10^-6×10^-2N=9.0×10^-8N，則重力與電場(chǎng)力平衡，小球剛進(jìn)入磁場(chǎng)后由洛倫茲力提供向心力做勻速圓周運(yùn)動(dòng)．
設(shè)單位時(shí)間t=

π

60

s．則
在第一、二個(gè)t內(nèi)，B₁=1×10^-2T
由qvB₁=m

v2

R1

得，軌道半徑 R₁=

mv

qB1

=

9×10-9×1

9×10-6×10-2

=0.1m，周期 T₁=

2πm

qB1

=

2π×9×10-9

9×10-6×10-2

=

π

5

s
故t=

1

12

T1
粒子在第一、二個(gè)t內(nèi)，在磁場(chǎng)中轉(zhuǎn)過的圓心角為60°．
在第三個(gè)t內(nèi)，B₂=12×10^-2T，小球仍做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，
軌道半徑為 R₂=

1

12

R1=

1

120

m，T₂=

2πm

qB2

=

2π×9×10-9

9×10-6×12×10-2

s=

π

60

s
則t=T₂，在這段時(shí)間內(nèi)，小球正好運(yùn)動(dòng)一周回到原來(lái)的位置，在第四個(gè)t內(nèi)，小球又運(yùn)動(dòng)30°，正好離開磁場(chǎng)．
所以小球在勻強(qiáng)磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的軌跡長(zhǎng)度為：S=

1

4

?2πR1+2πR₂=

π×0.1

2

+2π×

1

120

=

π

15

m．
（2）粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)間為 t=3×

π

60

s，離開磁場(chǎng)后，粒子的電場(chǎng)力與重力仍平衡，運(yùn)動(dòng)2t=2×

π

60

s時(shí)間時(shí)，電場(chǎng)方向變?yōu)樨Q直向下，做類平拋運(yùn)動(dòng)，故有：
 a=

qE+mg

m

=2g
穿過x軸時(shí)豎直方向的位移為 y=

1

2

at′2=0.1m，解得：t′=0.1s
小球在水平方向的位移為：x=v₀t′=1×0.1m=0.1m
故小球再次到達(dá)x軸的橫坐標(biāo)為：X=0.1m+v₀?2t+x=0.2m+1×2×

π

60

m≈0.3m
所以小球再次到達(dá)x軸的坐標(biāo)為（0.3m，0）
（3）小球從O點(diǎn)到再次到達(dá)x軸的運(yùn)動(dòng)軌跡示意圖如圖所示．
答：
（1）小球在勻強(qiáng)磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的軌跡長(zhǎng)度是

π

15

m；
（2）小球再次到達(dá)x軸的坐標(biāo)是（0.3m，0）；
（3）畫出小球從O點(diǎn)到再次到達(dá)x軸的運(yùn)動(dòng)軌跡示意圖如圖所示．

點(diǎn)評(píng)：本題帶電粒子在交變電磁場(chǎng)中，通過計(jì)算分析受力情況，判斷粒子的運(yùn)動(dòng)情況是關(guān)鍵．