Question

16．利用電場和磁場，可以將比荷不同的離子分開，這種方法在化學分析和原子核技術領域有重要的應用． 如圖所示的矩形區(qū)域ABDG（AC邊足夠長）中存在垂直于紙面的勻強磁場，A處有一狹縫．離子源產生的離子，經(jīng)電場加速后穿過狹縫沿垂直于GA且垂直于磁場的方向射入磁場，運動到GA邊，被相應的收集器收集．整個裝置內部為真空．已被加速的兩種正離子的質量分別是m₁和m₂（m₁＞m₂），電荷量均為q．加速電場的電勢差為U．離子進入電場時的初速度可以忽略．不計重力，也不考慮離子間的相互作用．
（1）求質量為m₁的離子進入磁場時的速度v₁；
（2）當磁感應強度的大小為B時，求兩種離子在GA邊落點的距離x；
（3）在前面的討論中忽略了狹縫寬度的影響，實際裝置中狹縫具有一定的寬度．若狹縫過寬，可能使兩束離子在GA邊上的落點區(qū)域交疊，導致兩種離子無法完全分離．設磁感應強度大小可調，GA邊長為一定值L，狹縫寬度為d，狹縫右邊緣在A處，離子可以從狹縫各處射入磁場，入射方向仍垂直于GA邊且垂直于磁場，為保證上訴兩種離子能落在GA邊上并被完全分離，求狹縫的最大寬度．

Answer 1

分析 帶電粒子先進入電場再進入磁場，這是最基礎的物理問題，利用動能定理和牛頓第二定律不難離開電場的速度和在磁場中運動的半徑．
（1）利用動能定理，電場力做的功等于粒子動能的增量，很容易求出進入磁場的速度，這是本題的第一個鋪墊．
（2）由洛侖茲力提供向心力（即牛頓第二定律）也很方便求出兩種粒子落點的距離，這是本題的第二個鋪墊．
（3）要使兩種粒子的落點無重疊，則直徑之差大于縫寬，結合質量較大的粒子的走私有一最大值L-d，代入不等式，就能求出縫寬的最大值．

解答 解：（1）加速電場對離子m₁做的功為：W=qU
由動能定理有：$\frac{1}{2}{m}_{1}{{v}_{1}}^{2}=qU$…①
得：${v}_{1}=\sqrt{\frac{2qU}{{m}_{1}}}$
   （2）由牛頓第二定律和洛侖茲力公式有：
$qvB=\frac{m{v}^{2}}{R}$，
$R=\frac{mv}{qB}$．
 利用①式得離子在磁場中的軌道半徑分別為：
${R}_{1}=\sqrt{\frac{2{m}_{1}U}{q{B}^{2}}}$，${R}_{2}=\sqrt{\frac{2{m}_{2}U}{q{B}^{2}}}$…②
兩種離子在GA上落點的間距為：$x=2{R}_{1}-2{R}_{2}=\sqrt{\frac{8U}{q{B}^{2}}}（\sqrt{{m}_{1}}-\sqrt{{m}_{2}}）$…③
（3）質量為m₁的離子，在GA邊上的落點都在其入射點左側2R₁處，由于狹縫的寬度為d，因此落點區(qū)域的寬度也是d，同理，質量為m₂的離子在GA邊上落點區(qū)域的寬度也是d．
為保證兩種離子能完全分離，兩個區(qū)域應無交疊，條件為：
2R₁-2R₂＞d…④
利用②式，代入④式得：$2{R}_{1}（1-\sqrt{\frac{{m}_{2}}{{m}_{1}}）＞d}$          
R₁的最大值滿足2R_m=L-d       
得：$（L-d）（1-\sqrt{\frac{{m}_{2}}{{m}_{1}}）}＞d$
求得最大值為：$ihohvhh_{m}=\frac{\sqrt{{m}_{1}}-\sqrt{{m}_{2}}}{2\sqrt{{m}_{1}}-\sqrt{{m}_{2}}}L$   
答：（1）求質量為m₁的離子進入磁場時的速度為$\sqrt{\frac{2qU}{{m}_{1}}}$．
（2）當磁感應強度的大小為B時，求兩種離子在GA邊落點的距離為$\sqrt{\frac{8U}{q{B}^{2}}}（\sqrt{{m}_{1}}-\sqrt{{m}_{2}}）$．
（3）若考慮縫寬，要使兩種粒子的落點無重疊，則縫寬的最大值為$\frac{\sqrt{{m}_{1}}-\sqrt{{m}_{2}}}{2\sqrt{{m}_{1}}-\sqrt{{m}_{2}}}L$

點評 本題的難點在于第三問，在解得前兩問的基礎上，才能畫龍點睛．關鍵點在于等式和不等式的結合，不等式是直徑之差大于縫寬，等式是質量較大的粒子有一最大半徑L-d，聯(lián)立兩式可以縫寬最大值．