Question

7．如圖1所示，兩根水平的金屬光滑平行導(dǎo)軌，其末端連接等高光滑的$\frac{1}{4}$圓弧，其軌道半徑r=0.5m，圓弧段在圖中的cd和ab之間，導(dǎo)軌的間距為L(zhǎng)=0.5m，軌道的電阻不計(jì)．在軌道的頂端接有阻值為R=2.0Ω的電阻，整個(gè)裝置處在豎直向上的勻強(qiáng)磁場(chǎng)中，磁感應(yīng)強(qiáng)度B=2.0T．現(xiàn)有一根長(zhǎng)度稍大于L、電阻不計(jì)，質(zhì)量m=1.0kg的金屬棒，從軌道的水平位置ef開(kāi)始在拉力F作用下，從靜止勻加速運(yùn)動(dòng)到cd的時(shí)間t₀=2.0s，在cd的拉力為F₀=3.0N．已知金屬棒在ef和cd之間運(yùn)動(dòng)時(shí)的拉力隨時(shí)間變化的圖象如圖2所示，重力加速度g=10m/s²．求：
（1）求勻加速直線運(yùn)動(dòng)的加速度．
（2）金屬棒做勻加速運(yùn)動(dòng)時(shí)通過(guò)金屬棒的電荷量q；
（3）勻加到cd后，調(diào)節(jié)拉力使金屬棒接著沿圓弧做勻速圓周運(yùn)動(dòng)至ab處，金屬棒從cd沿$\frac{1}{4}$圓弧做勻速圓周運(yùn)動(dòng)至ab的過(guò)程中，拉力做的功W_F．

Answer 1

分析 （1）據(jù)金屬棒做勻加速運(yùn)動(dòng)，利用運(yùn)動(dòng)學(xué)公式和在cd時(shí)，利用牛頓第二定律、感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)、歐姆定律和安培力公式聯(lián)合求解．
（2）利用法拉第電磁感應(yīng)定律和電流公式聯(lián)合求解．
（3）利用能量守恒、圓周運(yùn)動(dòng)的知識(shí)和產(chǎn)生的焦耳熱聯(lián)合求解．

解答 解：（1）設(shè)金屬棒勻加速運(yùn)動(dòng)的加速度為a，則運(yùn)動(dòng)到cd的速度：v=2a 
當(dāng)金屬棒在cd時(shí)為研究對(duì)象，產(chǎn)生的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)：E=BLv
產(chǎn)生的電流：I=$\frac{E}{R}$
金屬棒所受的安培力：F=BIL
據(jù)牛頓第二定律得：F₀-F=ma
聯(lián)立以上帶入數(shù)據(jù)解得：a=1.5m/s²    ①
（2）據(jù)以上可知，金屬棒勻加速運(yùn)動(dòng)的位移：s=$\frac{1}{2}a{t}^{2}$     ②
據(jù)法拉第電磁感應(yīng)定律得：E₁=$\frac{△∅}{△t}$=$\frac{BLs}{△t}$    ③
通過(guò)金屬棒的平均電流：${I}_{1}=\frac{{E}_{1}}{R}$    ④
通過(guò)金屬棒的電量：q=I₁•△t   ⑤
聯(lián)立①②③④⑤帶入數(shù)據(jù)解得：q=1.5C
（3）金屬棒在圓弧軌道的速率：v=at=3m/s     ⑥
運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為：t=$\frac{2πr}{4v}$   ⑦
產(chǎn)生的電動(dòng)勢(shì)最大值：E_m=BLv  ⑧
由于圓弧段導(dǎo)體棒做的是勻速圓周運(yùn)動(dòng)，所以導(dǎo)體棒中產(chǎn)生正弦式電流，所以產(chǎn)生的熱量：
  Q=$\frac{（\frac{\sqrt{2}}{2}{E}_{m}）^{2}}{R}$t    ⑨
據(jù)能量守恒可知：W=Q+mgh    （10）
聯(lián)立以上解得：W=5.59J
答：（1）金屬棒做勻加速運(yùn)動(dòng)的加速度1.5m/s²；
（2）金屬棒做勻加速運(yùn)動(dòng)時(shí)通過(guò)金屬棒的電荷量1.5C；
（3）金屬棒從cd沿$\frac{1}{4}$圓弧做勻速圓周運(yùn)動(dòng)至ab的過(guò)程中，拉力做的功為5.59J．

點(diǎn)評(píng) 此題為一道綜合性很強(qiáng)的題，牽涉知識(shí)點(diǎn)眾多，明確求電動(dòng)勢(shì)、安培力、電量和功的方法是解題的關(guān)鍵，靈活利用求電量和能量守恒的結(jié)論是解題的捷徑．