Question

【題目】大愛無疆，最美逆行。一輛向武漢運(yùn)輸防疫物資的汽車經(jīng)過高速公路的一個(gè)出口段，如圖所示，車從出口A進(jìn)入匝道，先勻減速直線通過下坡路段至B點(diǎn)（通過B點(diǎn)前后速率不變），再勻速率通過水平圓弧路段至C點(diǎn)，最后從C點(diǎn)沿平直路段勻減速到D點(diǎn)停下。已知車在A點(diǎn)的速度v0=90 km/h，AB長(zhǎng)L1=100 m，與地面間的夾角θ=30°；BC為四分之一水平圓弧段，輪胎與BC段路面間的動(dòng)摩擦因數(shù)為μ=0.5，最大靜摩擦力可認(rèn)為等于滑動(dòng)摩擦力；CD段長(zhǎng)L2=60 m。車在AB段所受阻力恒為車重的0.7倍，重力加速度g取10 m/s2。

(1)若汽車到達(dá)BC段時(shí)剛好達(dá)到BC段的限速vm（允許通過的最大速度），求vm；

(2)為保證行車安全，車輪不打滑，求水平圓弧段BC半徑R的最小值；

(3)汽車從A點(diǎn)到D點(diǎn)全程的最短時(shí)間。

Answer 1

【答案】(1)15m/s；(2) 45m；(3)17.7s

【解析】

(1) 車在A點(diǎn)的速度

v0=90km/h=25m/s

AB長(zhǎng)L1=100m，汽車在AB段做勻減速直線運(yùn)動(dòng)，有

0.7mg－mgsinθ=ma

vm2－v02=-2aL1

代入數(shù)據(jù)解得

vm=15m/s

(2)汽車在BC段做圓周運(yùn)動(dòng)，靜摩擦力提供向心力，有

為了確保安全，則須滿足

fm≤μmg

聯(lián)立解得

R≥45m

即

Rmin=45m

(3)設(shè)通過AB段最短時(shí)間為t1，通過BC段最短時(shí)間為t2，通過CD段時(shí)間為t3，全程所用最短時(shí)間為t。有

L1=t1

πRmin=vmt2

L2=vmt3

t=t1＋t2＋t3

聯(lián)立各式代入數(shù)據(jù)解得t=17.7s。