15.如圖所示,長為L的繩子下端連著質(zhì)量為m的小球,上端懸于天花板上,把繩子拉直時,繩子與豎直線夾角為θ=60°,此時小球靜止于光滑的水平桌面上.問:
(1)當(dāng)球以ω=$\sqrt{\frac{g}{L}}$做圓錐擺運動時,繩子張力T1為多大?桌面受到壓力N1為多大?
(2)當(dāng)球以角速度ω=$\sqrt{\frac{4g}{L}}$做圓錐擺運動時,繩子的張力T2及桌面受到的壓力N2分別為多少?

分析 (1)當(dāng)球做圓錐擺運動時,小球在水平面內(nèi)做勻速圓周運動,由重力、水平面的支持力和繩子拉力的合力提供向心力,根據(jù)牛頓第二定律,采用正交分解法列方程求解繩子的張力和支持力,再由牛頓第三定律求出桌面受到的壓力.
(2)當(dāng)小球?qū)ψ烂媲『脽o壓力時,由重力和繩子拉力的合力提供向心力,根據(jù)牛頓第二定律求解此時小球的角速度.根據(jù)角速度ω=$\sqrt{\frac{4g}{L}}$與臨界角速度的關(guān)系,判斷小球是否離開桌面.若小球桌面做圓周運動,再由牛頓第二定律求解繩子的張力.

解答 解:(1)對小球受力分析,作出力圖如圖1
根據(jù)牛頓第二定律,得
   T1sin60°=mω2Lsin60°①
   mg=N1+T1cos60°  ②
又ω=$\sqrt{\frac{g}{L}}$,解得
  T1=mg,N1=$\frac{1}{2}mg$;
(2)設(shè)小球?qū)ψ烂媲『脽o壓力時角速度為ω0,即N2=0
代入①②得ω0=$\sqrt{\frac{2g}{L}}$,由于ω=$\sqrt{\frac{4g}{L}}$>ω0,故小球離開桌面做勻速圓周運動,則N=0此時小球的受力如圖2.
設(shè)繩子與豎直方向的夾角為θ,則有
  mgtanθ=mω2•Lsinθ③
   mg=T2cosθ        ④
聯(lián)立③④解得 T2=4mg
答:(1)當(dāng)球以ω=$\sqrt{\frac{g}{L}}$做圓錐擺運動時,繩子張力T1=mg,桌面受到壓力N1=$\frac{1}{2}mg$;
(2)當(dāng)球以角速度ω=$\sqrt{\frac{4g}{L}}$做圓錐擺運動時,繩子的張力T2=4mg,桌面受到的壓力N2=0.

點評 本題是圓錐擺問題,分析受力,確定向心力來源是關(guān)鍵,實質(zhì)是牛頓第二定律的特殊應(yīng)用.

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