Question

13．假設(shè)在半徑為R的某天體上發(fā)射一顆該天體的衛(wèi)星，若這顆衛(wèi)星在距該天體表面高度為h的軌道做勻速圓周運(yùn)動，周期為T，已知萬有引力常量為G，求：
（1）該天體的質(zhì)量；
（2）該天體的密度．

Answer 1

分析 （1）衛(wèi)星做勻速圓周運(yùn)動，萬有引力提供向心力，根據(jù)牛頓第二定律列式求解；
（2）根據(jù)密度的定義求解天體密度；

解答 解：（1）衛(wèi)星做勻速圓周運(yùn)動，萬有引力提供向心力，根據(jù)牛頓第二定律，
有：$G\frac{Mm}{（R+h）_{\;}^{2}}=m\frac{4{π}_{\;}^{2}}{{T}_{\;}^{2}}（R+h）$
得M=$\frac{4{π}_{\;}^{2}（R+h）_{\;}^{3}}{G{T}_{\;}^{2}}$
（2）根據(jù)$ρ=\frac{M}{V}$，$V=\frac{4π{R}_{\;}^{3}}{3}$，聯(lián)立解得$ρ=\frac{3π（R+h）_{\;}^{3}}{G{T}_{\;}^{2}{R}_{\;}^{3}}$
答：（1）該天體的質(zhì)量$\frac{4{π}_{\;}^{2}（R+h）_{\;}^{3}}{G{T}_{\;}^{2}}$；
（2）該天體的密度$\frac{3π（R+h）_{\;}^{3}}{G{T}_{\;}^{2}{R}_{\;}^{2}}$

點(diǎn)評 本題關(guān)鍵是明確衛(wèi)星做圓周運(yùn)動時(shí)，萬有引力提供向心力，而地面附近重力又等于萬有引力，基礎(chǔ)問題．