Question

8．如圖所示，一條長(zhǎng)為L(zhǎng)的細(xì)線，上端固定，下端栓一個(gè)質(zhì)量為m的帶電小球，將它置于一個(gè)勻強(qiáng)電場(chǎng)中，場(chǎng)強(qiáng)大小為E，水平向右，已知當(dāng)細(xì)線離開豎直位置的偏角為α?xí)r，小球處于平衡狀態(tài)．
（1）小球帶何種電荷？電荷量是多少？
（2）如果使細(xì)線的偏角由α增大φ，然后由靜止釋放，則φ應(yīng)為多大，才能使細(xì)線達(dá)到豎直位置時(shí)，小球的速度剛好為零？
（3）如果將小球向左方拉成水平，此時(shí)線被拉直，那么放手后小球?qū)⒆鲈鯓拥倪\(yùn)動(dòng)？小球開始運(yùn)動(dòng)后經(jīng)多次時(shí)間又被拉直？

Answer 1

分析 （1）對(duì)小球受力分析，根據(jù)共點(diǎn)力平衡得出小球的電性以及小球所帶的電荷量．
（2）根據(jù)動(dòng)能定理，結(jié)合數(shù)學(xué)三角函數(shù)的關(guān)系求出小球速度剛好為零時(shí)φ的大小．
（3）果將小球向左方拉成水平，此時(shí)線被拉直，放手后，小球?qū)⒀睾狭Ψ较蜃龀跛俣葹榱愕膭蚣铀僦本�運(yùn)動(dòng)，根據(jù)牛頓第二定律求出加速度，結(jié)合位移時(shí)間公式求出運(yùn)動(dòng)的時(shí)間．

解答 解：（1）分析小球受力如圖所示，由力的平衡知小球帶正電，且滿足：Tsinα=qE，Tcosα=mg，
解得：q=$\frac{mgtanα}{E}$．
（2）小球從細(xì)線偏角φ的位置運(yùn)動(dòng)到豎直位置時(shí)，拉力T不做功，重力做正功，電場(chǎng)力做負(fù)功，由動(dòng)能定理得：
mgL（1-cosφ）-qELsinφ=0
即：$\frac{1-cosφ}{sinφ}=\frac{qE}{mg}=\frac{E•\frac{mgtanα}{E}}{mg}=tanα$，
再由二倍角公式cos2θ=1-2sin²θ代入可得：
$tan\frac{φ}{2}=tanα$，
即：φ=2α．
（3）小球受力分析如圖所示．由于小球所受重力、電場(chǎng)力均為恒力且由靜止釋放，故小球?qū)⒀睾狭Ψ较蜃龀跛俣葹榱愕膭蚣铀僦本�運(yùn)動(dòng)，當(dāng)線被拉直時(shí)，小球運(yùn)動(dòng)的位移為：
s=2Lsinθ
小球的加速度為：$a=\frac{{F}_{合}}{m}=\frac{\frac{mg}{cosθ}}{m}=\frac{g}{cosθ}$，
由s=$\frac{1}{2}a{t}^{2}$得：t=$\sqrt{\frac{2s}{a}}=\sqrt{\frac{2×2Lsinθ}{\frac{g}{cosθ}}}=\sqrt{\frac{2Lsin2θ}{g}}$．
答：（1）小球帶正電，電荷量為$\frac{mgtanα}{E}$．
（2）φ應(yīng)為2α，才能使細(xì)線達(dá)到豎直位置時(shí)，小球的速度剛好為零．
（3）小球?qū)⒀睾狭Ψ较蜃龀跛俣葹榱愕膭蚣铀僦本�運(yùn)動(dòng)，小球經(jīng)過$\sqrt{\frac{2Lsin2θ}{g}}$又被拉直．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了共點(diǎn)力平衡、牛頓第二定律、動(dòng)能定理和運(yùn)動(dòng)學(xué)公式的綜合運(yùn)用，對(duì)數(shù)學(xué)幾何關(guān)系要求較高，注意第三問不能誤認(rèn)為小球做圓周運(yùn)動(dòng)，抓住小球的受力以及初速度分析小球的運(yùn)動(dòng)規(guī)律．