Question

2．如圖甲所示，長為L、間距為d的兩金屬板A、B水平放置，ab為兩板的中心線，一個帶電粒子以速度v₀從a點水平射入，沿直線從b點射出，粒子質(zhì)量為m，電荷量為q．若將兩金屬板接到如圖乙所示的交變電壓上，欲使該粒子仍能從b點以速度v₀射出，求：
（1）交變電壓的周期T應(yīng)滿足什么條件；
（2）粒子從a點射入金屬板的時刻應(yīng)滿足什么條件．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)題意可知，周期的整數(shù)倍應(yīng)與水平飛出時的時間相等；
（2）分析粒子在豎直方向上的運(yùn)動情況，明確粒子在做往復(fù)運(yùn)動，只需豎直方向的位移等0即可．

解答 解：帶電粒子進(jìn)入電場后，開始時在電場中做類平拋運(yùn)動，水平方向的速度保持不變，豎直方向做初速度為0的勻加速直線運(yùn)動．
當(dāng)電場的方向改變后，粒子在豎直方向做減速運(yùn)動．若粒子在t=0時刻進(jìn)入電場，其速度圖線隨時間的變化關(guān)系如圖：

若要帶電粒子經(jīng)過一定的時間后從與a在同一條水平線上的b點，仍然以入射速度v₀穿出電場，則需要粒子在豎直方向的位移等于0，顯然，在t=0時刻粒子進(jìn)入電場是不可能通過b點的．
由圖可知，粒子的加速度的大小是不變的，加速與減速的過程是對稱的，若粒子是在t不等于0的任意時刻進(jìn)入電場，其速度隨時間的變化如圖2，

經(jīng)過n個周期運(yùn)動后，粒子的豎直方向的分速度是0，但是，只有在橫坐標(biāo)上方的速度圖線與時間軸圍成的面積與橫坐標(biāo)下方的速度圖線與時間軸圍成的面積相等時，粒子在豎直方向的位移才等于0．這種情況下粒子第一段加速的時間是$\frac{1}{4}T$，所以粒子進(jìn)入電場的時刻對應(yīng)電場的$\frac{1}{4}T$，$\frac{3}{4}T$，$\frac{5}{4}T$，…即：t=$\frac{n}{2}T+\frac{T}{4}$，n取正整數(shù)．
設(shè)經(jīng)過n個周期運(yùn)動后，能平行金屬板射出，
則nT=$\frac{L}{{v}_{0}}$，T=$\frac{L}{n{v}_{0}}$．
n可取正整數(shù)．
答：（1）交流電壓的周期T應(yīng)滿足的條件是T=$\frac{L}{n{v}_{0}}$，n取正整數(shù)；
（2）粒子從a點射入金屬板的時刻應(yīng)滿足的關(guān)系是：t=$\frac{n}{2}T+\frac{T}{4}$，n取正整數(shù)．

點評 本題考查帶電粒子在電場中運(yùn)動的規(guī)律，要注意明確粒子在電場中的運(yùn)動過程，特別是豎直方向上的運(yùn)動分析．