Question

（2006?湖北模擬）如圖所示，在方向豎直向上的磁感應(yīng)強(qiáng)度為B特斯拉的勻強(qiáng)磁場(chǎng)中有兩條光滑固定的平行金屬導(dǎo)軌MN、PQ，導(dǎo)軌足夠長(zhǎng)，間距為L(zhǎng)，其電阻不計(jì)，導(dǎo)軌平面與磁場(chǎng)垂直．a(chǎn)b、cd為兩根垂直于導(dǎo)軌水平放置的金屬棒，其接入回路中的電阻均為R，質(zhì)量均為m．與金屬導(dǎo)軌平行的水平細(xì)線一端固定，另一端與cd棒的中點(diǎn)連接，細(xì)線能承受的最大拉力為T，一開始細(xì)線處于伸直狀態(tài)，ab棒在平行導(dǎo)軌的水平拉力F（未知）的作用下以加速a向右做勻加速直線運(yùn)動(dòng)，兩根金屬棒運(yùn)動(dòng)時(shí)始終與導(dǎo)軌接觸良好且與導(dǎo)軌垂直．求：
（1）經(jīng)多長(zhǎng)時(shí)間細(xì)線被拉斷？
（2）若在細(xì)線被拉斷瞬間撤去拉力F，兩棒最終的速度各為多大？
（3）若在細(xì)線被拉斷瞬間撤去拉力F，兩根金屬棒之間距離增量△x的最大值是多少？

Answer 1

分析：（1）ab棒向右做勻加速運(yùn)動(dòng)進(jìn)，穿過(guò)回路abcd的磁通量增大，回路中產(chǎn)生感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)和感應(yīng)電流，cd受到向右的安培力作用，當(dāng)安培力大小等于細(xì)線的最大拉力時(shí)，細(xì)線被拉斷．根據(jù) E=BLv、I=

E

2R

、F=BIL，v=at，推導(dǎo)出安培力F的表達(dá)式，細(xì)線剛被拉斷時(shí)F=T，即可求得t；
（2）在細(xì)線被拉斷瞬間撤去拉力F后，cd棒由于受到向右的安培力也向右開始做加速運(yùn)動(dòng)，cd切割磁感線產(chǎn)生感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)，回路中總的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)將減小，感應(yīng)電流減小，則ab做加速度逐漸減小的減速運(yùn)動(dòng)，cd做加速度逐漸減小的加速運(yùn)動(dòng)，最終兩者以共同速度v′做勻速直線運(yùn)動(dòng)．根據(jù)系統(tǒng)動(dòng)量守恒求得兩棒最終勻速運(yùn)動(dòng)時(shí)的速度．
（3）根據(jù)法拉第電磁感應(yīng)定律、歐姆定律和電流公式I=

q

t

，求得通過(guò)兩棒的電量q，再對(duì)cd棒運(yùn)用動(dòng)量定理求解△x．

解答：解：（1）設(shè)繩被拉斷時(shí)回路中的電流為I，設(shè)拉斷時(shí)棒ab中電動(dòng)勢(shì)為E，速度為v，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t，則
 E=BLv
 I=

E

2R

 v=at
cd棒所受的安培力為 F=BIL，
聯(lián)立解得，F(xiàn)=

B2L2at

2R

細(xì)線即將拉斷時(shí)，對(duì)cd有：T=F
解得：t=

2RT

B2L2a

（2）v=at=

2RT

B2L2

設(shè)兩棒勻速運(yùn)動(dòng)時(shí)的相同速度為v′，據(jù)動(dòng)量守恒得：
  mv=2mv′
解得v′=

1

2

v=

RT

B2L2

（3）根據(jù)法拉第電磁感應(yīng)定律、歐姆定律得：
 

.

I

=

. E

2R

=

△Φ

2R△t

通過(guò)兩棒的電荷量為q=

.

I

△t=

BL△x

2R

對(duì)cd棒，由動(dòng)量定理得：B

.

I

L△t=mv′
聯(lián)立上兩式得：△x=

2mTR2

B4L4

答：
（1）經(jīng)

2RT

B2L2a

時(shí)間細(xì)線被拉斷．
（2）若在細(xì)線被拉斷瞬間撤去拉力F，兩棒最終的速度各為

RT

B2L2

．
（3）若在細(xì)線被拉斷瞬間撤去拉力F，兩根金屬棒之間距離增量△x的最大值是

2mTR2

B4L4

．

點(diǎn)評(píng)：本題雙桿模型，當(dāng)cd棒不動(dòng)時(shí)，只有ab棒切割磁感線產(chǎn)生感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)，關(guān)鍵要會(huì)推導(dǎo)安培力和運(yùn)用動(dòng)量定理求△x．當(dāng)cd棒也運(yùn)動(dòng)時(shí)，關(guān)鍵要正確分析兩棒的運(yùn)動(dòng)情況．