Question

如圖所示，以A、B和C、D為斷點的兩半圓形光滑軌道固定于豎直平面內，一滑板靜止在光滑的地面上，左端緊靠B點，上表面所在平面與兩半圓分別相切于B、C兩點，一物塊（視為質點）被輕放在水平勻速運動的傳送帶上E點，運動到A點時剛好與傳送帶速度相同，然后經A點沿半圓軌道滑下，再經B點滑上滑板，滑板運動到C點時被牢固粘連．物塊可視為質點，質量為m，滑板質量為M=2m，兩半圓半徑均為R，板長l=6.5R，板右端到C點的距離L在R＜L＜5R范圍內取值，E點距A點的距離s=5R，物塊與傳送帶、物塊與滑板間的動摩擦因數均為μ=0.5，重力加速度g已知．
（1）求物塊滑到B點的速度大�。�
（2）求物塊滑到B點時對半圓軌道的壓力；
（3）物塊在滑板上滑動過程中，當物塊與滑板達到共同速度時，測得它們的共同速度為u=

uB

3

．試討論物塊從滑上滑板到離開右端的過程中，克服摩擦力做的功W_f與L的關系．并判斷物塊能否滑到CD軌道的中點．

Answer 1

分析：（1）物塊從E到B點由動能定理可求得到達B點的速度；
（2）在B點由牛頓第二定律求的對半圓軌道的壓力；
（3）當達到共同速度時通過動能定理判斷出滑塊和木板前進的位移，然后通過討論L的大小判斷出摩擦力做的功W_f與L的關系．并判斷物塊能否滑到CD軌道的中點．

解答：解（1）設物塊滑到B點的速度大小為v_B，對物體從E到B過程，根據動能定理得：
μmgs+2mgR =

1

2

mv

2 B

．
解得：vB =3

gR

．
（2）物塊在B點時，根據牛頓第二定律得：FN -mg=m

v 2 B

R

．
解得：FN=m

v 2 B

R

+mg=10mg．
（3）物塊從B滑上滑板后開始作勻減速運動，此時滑板開始作勻加速直線運動，當物塊與滑板達共同速度時，二者開始作勻速運動．由題意知它們的共同速度為：v=

vB

3

．
此過程，對物塊據動能定理得：-μmgs1=

1

2

mv

2

-

1

2

mv

2 B

．
解得：s₁=8R．
此過程，對滑板據動能定理得：μmgs2=

1

2

mv2-0．
解得：s₂=2R．
由此可知物塊在滑板上滑過s₁-s₂=6R時，二者就具有共同速度了．因為6R＜6.5R，所以物塊并沒有從滑板上滑下去．
討論：
當R＜L＜2R時，物塊在滑板上一直勻減速運動至右端，運動的位移為6.5R+L，克服摩擦力做的功為：W_f=μmg（6.5R+L）=

1

4

mg(13R+2L)．
設滑上C點的速度為v_c，對物塊根據動能定理得：
-μmg(6.5R+L)=

1

2

mv

2 c

-

1

2

mv

2 B

解得：

1

2

mv

2 c

=

1

2

mg(2.5R-L)＜mgR，所以物塊不可能滑到CD軌道的中點．
當2R≤L＜5R時，物塊的運動的勻減速運動8R，勻速運動L-2R，再勻減速運動0.5R，克服摩擦力做的功為：Wf=μmg(8R+0.5R)=

17

4

mgR．
-Wf=

1

2

mv

′2 c

-

1

2

mv

2 B

解得：

1

2

mv

′2 c

=

1

4

mgR＜mgR，所以物塊不能滑到CD軌道的中點．
答：（1）求物塊滑到B點的速度大小為3

gR

；
（2）求物塊滑到B點時對半圓軌道的壓力10mg；
（3）當R＜L＜2R時，克服摩擦力做功為

1

4

mg(13R+2L)，不能滑到CD的中點；
當2R≤L＜5R時，克服摩擦力做功為

17

4

mgR，不能滑到CD的中點；

點評：本題考查機械能守恒以及有摩擦的板塊模型中克服摩擦力做的功．判斷物塊與滑板在達到相同共同速度時，物塊未離開滑板是關鍵，是一道比較困難的好題．