Question

如圖所示，在光滑水平面上有一質(zhì)量為M的長木板，長木板上有一質(zhì)量為m的小物塊，它與長木板間的動(dòng)摩擦因數(shù)為μ。開始時(shí)，長木板與小物塊均靠在與水平面垂直的固定擋板處，某時(shí)刻它們以共同的速度v₀向右運(yùn)動(dòng)，當(dāng)長木板與右邊的固定豎直擋板碰撞后，其速度的大小不變、方向相反，以后每次的碰撞均如此。設(shè)左右擋板之間的距離足夠長，且M＞m。
（1）要想物塊不從長木板上落下，則長木板的長度L應(yīng)滿足什么條件？
（2）若上述條件滿足，且M＝2 kg，m＝1 kg，v₀＝10 m/s，求整個(gè)系統(tǒng)在第5次碰撞前損失的所有機(jī)械能。

Answer 1

解：（1）設(shè)第1次碰撞后小物塊與長木板共同運(yùn)動(dòng)的速度為v₁，第n次碰撞后小物塊與長木板共同運(yùn)動(dòng)的速度為v_n。每次碰撞后，由于兩擋板的距離足夠長，物塊與長木板都能達(dá)到相對靜止，第1次若不能掉下，往后每次相對滑動(dòng)的距離會(huì)越來越小，更不可能掉下。由動(dòng)量守恒定律和能量守恒定律有：
(M－m)v₀＝(M＋m)v₁
μmgs＝(m＋M)v₀²－(M＋m)v₁²
解得：s＝
故L應(yīng)滿足的條件是：L≥s＝
（2）第2次碰撞前有：(M－m)v₀＝(M＋m)v₁
第3次碰撞前有：(M－m)v₁＝(M＋m)v₂
第n次碰撞前有：(M－m)v_n－2＝(M＋m)v_n－1
所以v_n－1＝()^n－1v₀
故第5次碰撞前有：v₄＝()⁴v₀
故第5次碰撞前損失的總機(jī)械能為：ΔE＝(M＋m)v₀²－(M＋m)v₄²
代入數(shù)據(jù)解得：ΔE＝149.98 J