Question

一只船在水中航行時(shí)所受阻力與其速度成正比．現(xiàn)此船由靜止開(kāi)始沿直線航行，若保持牽引力恒定，經(jīng)過(guò)時(shí)間t₁后，速度為v，加速度為a₁，最終以速度2v勻速運(yùn)動(dòng)；若保持牽引力的功率恒定，經(jīng)過(guò)時(shí)間t₂后，速度為v，加速度為a₂，最終也以2v的速度勻速運(yùn)動(dòng)，則有（　�。�

A．t₁=t₂

B．a(chǎn)₂=2a₁

C．t₁＜t₂

D．a(chǎn)₂=3a₁

Answer 1

分析：1、以恒定牽引力啟動(dòng)的物理過(guò)程：
根據(jù)牛頓第二定律，a=

F-f

m

=

F-kv

m

，由于F恒定，速度增大，所以加速度減小，故做加速度減小的加速運(yùn)動(dòng)．
又P=Fv，由于速度增大，所以功率增大．
到t₁時(shí)刻，為v、a₁，當(dāng)F=f=k?2v時(shí)，a=0，勻速2v，P=F?2v=4kv²．
需要注意的是，雖然牽引力恒定，但船所受阻力跟速度成正比，故合外力是變力，不是勻變速運(yùn)動(dòng)．
2、以恒定功率啟動(dòng)的物理過(guò)程：
根據(jù)牛頓第二定律，a′=

F′-f

m

=

P v′

-kv′ m

，由于P恒定，速度增大，所以加速度減小，故做加速度減小的加速運(yùn)動(dòng)．
到t₂時(shí)刻，為v、a₂，當(dāng)F′=f=k?2v時(shí)，a′=0，勻速2v，P′=F?2v=4kv²
故有最終功率相等．

解答：解：1、先討論B和D選項(xiàng)的加速大小：
以恒定的牽引力啟動(dòng)經(jīng)過(guò)時(shí)間t₁時(shí)滿足方程：
F-kv=ma₁----①
以2v的速度作勻速運(yùn)動(dòng)時(shí)滿足方程：
F-k2v=0----②
由①②兩式可得
kv=ma₁----③
船以恒定的功率啟動(dòng)經(jīng)過(guò)時(shí)間t₂時(shí)，設(shè)牽引力為F′，則
F′-kv=ma₂----④
設(shè)恒定功率為P，則
P=F′v----⑤
由于功率一定，兩次最終也以2v的速度作勻速運(yùn)動(dòng)，勻速運(yùn)動(dòng)時(shí)滿足方程：
P=F2v----⑥
由⑤⑥兩式得：
F′=2F代入④得
2F-kv=ma₂----⑦
將②代入上式得
3kv=ma₂----⑧
由③⑧兩式相比可得：
a₂=3a₁
故B錯(cuò)誤D正確．
2、再討論A和C選項(xiàng)的時(shí)間大�。�
關(guān)于時(shí)間的比較用v-t圖象加以分析比較方便．畫(huà)出兩船的v-t圖象，圖線的斜率等于其加速度，注意利用速度均為v時(shí)，a₂=3a₁；速度為2v時(shí)，均勻速運(yùn)動(dòng)，故得圖線如圖所示，圖中甲表示以恒定牽引力啟動(dòng)，乙表示以恒定功率啟動(dòng)．
　　由圖可知，開(kāi)始階段，乙的加速度是甲的3倍，乙的速度增加比甲快，乙的位移大于甲，速度達(dá)到v時(shí)，從圖中很直觀看出t₁＞t₂，故AC錯(cuò)誤．
綜上所述，本題的正確答案應(yīng)是D．
故選：D．

點(diǎn)評(píng)：解決此類問(wèn)題的關(guān)鍵是“三分析”--分析受力，根據(jù)牛頓運(yùn)動(dòng)定律確定運(yùn)動(dòng)性質(zhì)；以加速度為橋梁，分析運(yùn)動(dòng)及其變化過(guò)程；分析收尾狀態(tài)，明確特征及其條件．對(duì)于變力作用下的運(yùn)動(dòng)過(guò)程處理（例如本題求由靜止啟動(dòng)到最終勻速運(yùn)動(dòng)的位移和時(shí)間），因涉及微積分，中學(xué)只能用動(dòng)能定理求解或圖象法求解．本題思維難度較大，屬于難題．