Question

9．如圖所示，一個(gè)內(nèi)壁光滑頂角θ=90°的圓錐形筒的軸線豎直，圓錐形筒固定不動(dòng)，有兩個(gè)質(zhì)量相等的小球A和B緊貼著內(nèi)壁分別在圖中所示的水平面內(nèi)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，小球A的軌道半徑是B的2倍，選取圓錐形筒的頂點(diǎn)O所在的水平面為重力勢(shì)能的參考平面．則以下說法中正確的是（　　）

• A． A、B兩球所受支持力的大小之比為1：1
• B． A、B兩球運(yùn)動(dòng)的周期之比為1：$\sqrt{2}$
• C． A、B兩球的動(dòng)能之比為2：1
• D． A、B兩球的機(jī)械能之比為2：1

Answer 1

分析 根據(jù)平行四邊形定則得出小球支持力的表達(dá)式，從而得出支持力之比．根據(jù)牛頓第二定律得出周期和線速度的表達(dá)式，從而得出周期和線速度之比，從而得出動(dòng)能之比．根據(jù)動(dòng)能之比和重力勢(shì)能之比求出兩球的機(jī)械能之比．

解答 解：A、根據(jù)平行四邊形定則知，小球所受的支持力N=$\frac{mg}{sinθ}$，由于兩球的質(zhì)量相等，則A、B兩球所受支持力的大小之比為1：1，故A正確．
B、根據(jù)$\frac{mg}{tanθ}=mr\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}$得，小球運(yùn)動(dòng)的周期T=$2π\(zhòng)sqrt{\frac{rtanθ}{g}}$，因?yàn)锳、B的半徑之比為2：1，則周期之比為$\sqrt{2}：1$，故B錯(cuò)誤．
C、根據(jù)$\frac{mg}{tanθ}=m\frac{{v}^{2}}{r}$得，小球的線速度v=$\sqrt{\frac{gr}{tanθ}}$，因?yàn)锳、B的半徑之比為2：1，則線速度之比為$\sqrt{2}：1$，A、B兩球的動(dòng)能之比為2：1，故C正確．
D、小球A、B的軌道半徑之比2：1，則高度之比為2：1，所以兩球的重力勢(shì)能之比為2：1，動(dòng)能之比為2：1，則兩球的機(jī)械能之比為2：1，故D正確．
故選：ACD．

點(diǎn)評(píng) 解決本題的關(guān)鍵知道小球向心力的來源，關(guān)鍵得出線速度、周期、支持力的表達(dá)式，從而分析判斷．