Question

【題目】如圖所示，半徑為R的豎直圓軌道與半徑為2R的豎直圓弧軌道BC相切于最低點(diǎn)C，傾角θ=37°的傾斜軌道AB與圓弧軌道BC相切于B點(diǎn)，將一勁度系數(shù)為k的輕質(zhì)彈簧的一端固定在AB軌道上，平行于斜面的細(xì)線穿過有孔固定板和彈簧并跨過定滑輪將小球a和小球b連接，小球a與彈簧接觸但不相連，小球a的質(zhì)量為m，小球b的質(zhì)量為，初始時(shí)兩小球靜止，小球a與B點(diǎn)的距離為L，已知彈簧被壓縮時(shí)的彈性勢能表達(dá)式為（x為彈簧壓縮量），現(xiàn)將細(xì)線突然燒斷，一切摩擦均不計(jì)，sin37°=0.6，cos37°=0.8，重力加速度為g。

（1）求細(xì)線斷開的瞬間，小球a和小球b的加速度大小之比。

（2）如果小球a恰好能在圓軌道內(nèi)完成豎直平面內(nèi)的圓周運(yùn)動，則L和R應(yīng)滿足什么關(guān)系？

（3）在滿足第（2）問的條件下，小球a通過C點(diǎn)時(shí)對軌道的壓力的變化量是多少？

Answer 1

【答案】（1）（2）（3）

【解析】（1）細(xì)線為斷開時(shí)，由受力平衡有

解得

細(xì)線斷開的瞬間，對小球a： ，

解得：

對小球b：

解得， 所以

（2）細(xì)線斷開后小球a恰好能夠運(yùn)動到圓軌道的最高點(diǎn)P，由機(jī)械能守恒定律有

在最高點(diǎn)： ,

解得L=

（3）設(shè)小球a運(yùn)動到C點(diǎn)時(shí)速度為，

由機(jī)械能守恒定律有

解得

在C點(diǎn)的右側(cè)時(shí)，圓弧軌道的半徑為2R，

由牛頓第二定律：

解得

在C點(diǎn)的左側(cè)時(shí)，圓弧軌道的半徑為R，

由牛頓第二定律：

解得

故小球a通過C點(diǎn)時(shí)對軌道的壓力的變化量為 。