Question

（2004?南通二模）如圖為宇宙中有一個(gè)恒星系的示意圖．A為星系的一顆行星，它繞中央恒星O運(yùn)行的軌道近似為圓．天文學(xué)家觀測(cè)得到A行星運(yùn)動(dòng)的軌道半徑為R₀、周期為T₀．
（1）中央恒星O的質(zhì)量為多大？
（2）經(jīng)長期觀測(cè)發(fā)現(xiàn)，A行星實(shí)際運(yùn)動(dòng)的軌道與圓軌道總存在一些偏離，且周期性地每隔時(shí)間t₀發(fā)生一次最大的偏離．天文學(xué)家認(rèn)為形成這種現(xiàn)象的原因可能是A行星外側(cè)還存在著一顆未知的行星B（假設(shè)其運(yùn)行軌道與A在同一水平面內(nèi)，且與A的繞行方向相同），它對(duì)A行星的萬有引力引起A軌道的偏離（由于B對(duì)A的吸引而使A的周期引起的變化可以忽略）根據(jù)上述現(xiàn)象及假設(shè)，試求未知行星B的運(yùn)動(dòng)周期T及軌道半徑R．

Answer 1

分析：研究行星繞恒星做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，根據(jù)萬有引力提供向心力，列出等式帶有周期表達(dá)式，再根據(jù)已知量解出恒星質(zhì)量；根據(jù)開普勒第三定律解得軌道半徑．

解答：解：（1）設(shè)中央恒星質(zhì)量為M，A行星質(zhì)量為m
由萬有引力提供向心力得：

GMm

R 2 0

=

m4π2R0

T2

   
 得：M=

4π2 R 3 0

G T 2 0

  
（2）每隔時(shí)間t₀發(fā)生一次最大的偏離，說明A、B每隔時(shí)間t₀有一次相距最近的情況，這時(shí)它們轉(zhuǎn)過的角度相差1周（2π），所以有：

2π

T0

t0-

2π

T

t0=2π
解得：T=

t0T0

t0-T0

據(jù)開普勒第三定律：

R3

T2

=

R 3 0

T 2 0

得：R=(

t0

t0-T0

)

2

3

R0
答：中央恒星O的質(zhì)量為M=

4π2 R 3 0

G T 2 0

；未知行星B的運(yùn)動(dòng)周期T=

t0T0

t0-T0

，及軌道半徑R=(

t0

t0-T0

)

2

3

R0．

點(diǎn)評(píng)：從本題可以看出，通過測(cè)量環(huán)繞天體的軌道半徑和公轉(zhuǎn)周期，可以求出中心天體的質(zhì)量．