Question

16．如圖為某自動投放器的示意圖，其下半部AB是一長為R的豎直管道，上半部BC是半徑為R的四分之一圓弧光滑軌道，AB管內(nèi)有一原長為R、下端固定的輕質(zhì)彈簧．投放時，若將彈簧長度壓縮了0.5R后鎖定，在彈簧上端放置一個可視為質(zhì)點且質(zhì)量為m的小球，解除鎖定，彈簧可將小球彈射出去．當小球到達頂端C時，對軌道壁的壓力恰好為零，不計一切阻力，且鎖定和解除鎖定時，均不改變彈簧的彈性勢能．已知重力加速度為g，求：
（1）小球到達頂端C時的速度大小v₁；
（2）彈簧壓縮了0.5R時的彈性勢能E_p1；
（3）若將彈簧壓縮了0.6R時，彈簧彈性勢能為E_p2=$\frac{36}{25}$E_p1，小球落地點離OO′的水平距離s是多少？

Answer 1

分析 （1）魚餌到達管口C時做圓周運動的向心力完全由重力提供，有牛頓第二定律列出向心力的方程，速度可求．
（2）不計魚餌在運動過程中的機械能損失，所以魚餌增加的機械能都是彈簧做功的結(jié)果，由功能關(guān)系知道彈簧具有的彈性勢能等于魚餌增加的機械能．
（3）分別求出質(zhì)量是m和的魚餌離開C時的速度，再利用平拋運動規(guī)律求出落到水平面到轉(zhuǎn)軸之間的距離．

解答 解：（1）質(zhì)量為m的魚餌到達管口C時做圓周運動的向心力，完全由重力提供，
則mg=m$\frac{{v}_{1}^{2}}{R}$    …①
由①式解得：v₁=$\sqrt{gR}$    …②
（2）從彈簧釋放到最高點C的過程中，彈簧的彈性勢能全部轉(zhuǎn)化為魚餌的機械能，由系統(tǒng)的機械能守恒定律有 
E_P=mg（0.5R+R）+$\frac{1}{2}$mv₁²    …③
由②③式解得：E_p=2mgR…④
（3）設(shè)其到達管口C時速度大小為v₂，由機械能守恒定律得：
E_P2=mg（0.6R+R）+$\frac{1}{2}$mv₂²      …⑤
魚餌離開管口C后做平拋運動，設(shè)經(jīng)過t時間落到水面上，離OO'的水平距離為x，由平拋運動規(guī)律有：x=v₂t+R…⑥
h=2R=$\frac{1}{2}$gt²   ⑦
由⑤⑥⑦式解得：x=4.2R
答：（1）魚餌到達管口C時的速度大小$\sqrt{gR}$；
（2）彈簧壓縮到0.5R時的彈性勢能為2mgR；
（3）小球落地點離OO′的水平距離是4.2R．

點評 本題考查了圓周運動最高點的動力學方程和平拋運動規(guī)律以及機械能守恒定律的應用，轉(zhuǎn)軸轉(zhuǎn)過90°魚餌在水平面上形成圓周是解決問題的關(guān)鍵，同時要注意正確分析物理過程，明確各過程中的受力以及功能關(guān)系等，即可選擇正確的物理規(guī)律求解．