Question

5．古希臘哲學(xué)家芝諾提出了一個(gè)著名的運(yùn)動(dòng)佯謬，認(rèn)為飛毛腿阿基里斯永遠(yuǎn)追不上烏龜．設(shè)阿基里斯和烏龜?shù)乃俣确謩e是v₁和v₂（v₁＞v₂）．開(kāi)始時(shí)，阿基里斯在O點(diǎn)，烏龜在A點(diǎn)，O，A相距為L(zhǎng)．當(dāng)阿基里斯第一次跑到烏龜最初的位置A時(shí)，烏龜?shù)搅说诙�個(gè)位置B；當(dāng)阿基里斯第二次跑到烏龜曾在的位置B時(shí)，烏龜?shù)搅说谌齻�(gè)位置C．如此等等，沒(méi)有經(jīng)過(guò)無(wú)窮多次，阿基里斯是無(wú)法追上烏龜?shù)模?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic3/quiz/images/201608/135/ef09255d.png" style="vertical-align:middle" />
（1）阿基里斯第n次跑到烏龜曾在的位置N時(shí)，總共用了多少時(shí)間．
（2）證明經(jīng)過(guò)無(wú)窮多次這樣的追趕，阿基里斯可以追上烏龜，并求追上用了多少時(shí)間．
（3）可是，人們還是可以替芝諾辯護(hù)的，認(rèn)為他用了一種奇特的時(shí)標(biāo)，即把阿基里斯每次追到上次烏龜所到的位置作為一個(gè)時(shí)間單位．現(xiàn)稱用這種時(shí)標(biāo)所計(jì)的時(shí)間叫做“芝諾時(shí)”（符號(hào)τ，單位：芝諾）．即阿基里斯這樣追趕了烏龜n次的時(shí)候，芝諾時(shí)τ=n芝諾．試推導(dǎo)普通時(shí)與芝諾時(shí)的換算關(guān)系，即τ=f（t）的函數(shù)關(guān)系．

Answer 1

分析 由運(yùn)動(dòng)學(xué)公式分步確定各段時(shí)間，進(jìn)行求和，由多項(xiàng)式求和公式確定時(shí)間的表達(dá)式．確定達(dá)到∞時(shí)對(duì)就的時(shí)間值．

解答 解：（1）當(dāng)阿基里斯第一次跑到烏龜?shù)淖畛跷恢肁時(shí)，用時(shí)${t}_{1}=\frac{L}{{v}_{1}}$，
烏龜已到了第二個(gè)位置B，$\overline{AB}={v}_{2}{t}_{1}=\frac{{v}_{2}}{{v}_{1}}L$，
當(dāng)阿基里斯第二次跑到烏龜?shù)脑�在位置B時(shí)，用時(shí)${t}_{2}=\frac{\overline{AB}}{{v}_{1}}=\frac{{v}_{2}L}{{{v}_{1}}^{2}}$，
烏龜已到了第三個(gè)位置C，$\overline{BC}={v}_{2}{t}_{2}=（\frac{{v}_{2}}{{v}_{1}}）^{2}L$，
如此等等，阿基里斯第n次跑到烏龜曾在的位置N時(shí)，用時(shí)${t}_{n}=\frac{{{v}_{2}}^{n-1}}{{{v}_{1}}^{n}}L$，
所以t_N=t₁+t₂+…+t_n=$\frac{L}{{v}_{1}}[1+\frac{{v}_{2}}{{v}_{1}}+（\frac{{v}_{2}}{{v}_{1}}）^{2}+…+（\frac{{v}_{2}}{{v}_{1}}）^{n-1}]$=$\frac{L}{{v}_{1}}•\frac{1-（\frac{{v}_{2}}{{v}_{1}}）^{n}}{1-\frac{{v}_{2}}{{v}_{1}}}$．
（2）當(dāng)n→∞時(shí)，$（\frac{{v}_{2}}{{v}_{1}}）^{n}$→0，所以t=$\frac{L}{{v}_{1}-{v}_{2}}$，所以阿基里斯可以追上烏龜，所用時(shí)間t=$\frac{L}{{v}_{1}-{v}_{2}}$．
（3）由t=$\frac{L}{{v}_{1}}•\frac{1-（\frac{{v}_{2}}{{v}_{1}}）^{n}}{1-\frac{{v}_{2}}{{v}_{1}}}$得，可以解出τ=n=$\frac{ln（1-\frac{{v}_{1}-{v}_{2}}{L}t）}{ln\frac{{v}_{2}}{{v}_{1}}}$．
答：（1）阿基里斯第n次跑到烏龜曾在的位置N時(shí)，總共用了$\frac{L}{{v}_{1}}•\frac{1-（\frac{{v}_{2}}{{v}_{1}}）^{n}}{1-\frac{{v}_{2}}{{v}_{1}}}$．
（2）追上用了$\frac{L}{{v}_{1}-{v}_{2}}$時(shí)間．
（3）τ=f（t）的函數(shù)關(guān)系為τ=n=$\frac{ln（1-\frac{{v}_{1}-{v}_{2}}{L}t）}{ln\frac{{v}_{2}}{{v}_{1}}}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查物理學(xué)與數(shù)學(xué)知識(shí)的結(jié)合能力，對(duì)于多項(xiàng)式的求和是解題的關(guān)鍵，對(duì)數(shù)學(xué)能力的要求較高，需要多練習(xí)．