Question

1．一組太空人乘太空穿梭機S，去修理位于離地球表面為h的圓形軌道上的哈勃太空望遠(yuǎn)鏡H，機組人員使穿梭機S進入與H相同的軌道并關(guān)閉推動火箭，而望遠(yuǎn)鏡則在穿梭機前方數(shù)公里處，如圖所示．已知地球表面附近的重力加速度為g，地球半徑為R．則：
（1）求軌道上的重力加速度大��；
（2）求哈勃望遠(yuǎn)鏡在軌道上運行的速率和周期；
（3）要追上望遠(yuǎn)鏡，穿梭機首先應(yīng)進入半徑較小的軌道，為此穿梭機必須減小其原有速率，這是為什么？進入低軌道后穿梭機能獲得較大的角速度，這又是為什么？（均需寫出必要的判斷公式）

Answer 1

分析 （1）根據(jù)萬有引力提供向心力$G\frac{Mm}{{（R+h）}^{2}}=mg′$，以及地球表面上的物體受到的重力等于萬有引力$G\frac{Mm}{{R}^{2}}=mg$，化簡得到加速度的表達(dá)式即可；
（2）根據(jù)萬有引力提供向心力即可求出；
（3）衛(wèi)星在原有軌道上加速做離心運動，軌道半徑增大，在原有軌道上減速做向心運動，軌道半徑減�。�

解答 解：（1）由mg=G$\frac{Mm}{{R}^{2}}$，得地球表面的重力加速度為g=$\frac{GM}{{R}^{2}}$，
軌道處的重力角速度g′則有：$mg′=G\frac{Mm}{{（R+h）}^{2}}$
聯(lián)立以上二式得：g′=$（\frac{R}{R+h}）^{2}g$
（2）又：$G\frac{Mm}{{（R+h）}^{2}}=m\frac{{v}^{2}}{R+h}$
解得：$v=\sqrt{\frac{GM}{R+h}}$=$R•\sqrt{\frac{g}{R+h}}$
周期：T=$\frac{2πr}{v}=2π（R+h）\sqrt{\frac{R+h}{GM}}$=$\frac{2π}{R}•\sqrt{\frac{（R+h）^{3}}{g}}$
（3）先減速減小半徑進入較小的軌道，后加速以較大的角速度追上望遠(yuǎn)鏡．由$G\frac{Mm}{{r}^{2}}=m\frac{{v}^{2}}{r}$知，穿梭機要進入較低軌道必須有萬有引力大于穿梭機做圓周運動所需的向心力，故當(dāng)v減小時，$m\frac{{v}^{2}}{r}$才減小，這時$G\frac{Mm}{{r}^{2}}＞m\frac{{v}^{2}}{r}$，穿梭機進入半徑較小的軌道，之后的速度逐漸增大，追上望遠(yuǎn)鏡后，再增大速度，進入望遠(yuǎn)鏡的軌道即可．
答：（1）軌道上的重力加速度大��；
（2）哈勃望遠(yuǎn)鏡在軌道上運行的速率和周期；
（3）．由$G\frac{Mm}{{r}^{2}}=m\frac{{v}^{2}}{r}$知，穿梭機要進入較低軌道必須有萬有引力大于穿梭機做圓周運動所需的向心力，故當(dāng)v減小時，$m\frac{{v}^{2}}{r}$才減小，這時$G\frac{Mm}{{r}^{2}}＞m\frac{{v}^{2}}{r}$，穿梭機進入半徑較小的軌道，之后的速度逐漸增大，追上望遠(yuǎn)鏡后，再增大速度，進入望遠(yuǎn)鏡的軌道即可．

點評 本題關(guān)鍵抓住萬有引力提供向心力和重力等于萬有引力，列式求解出加速度的表達(dá)式，代入數(shù)據(jù)進行計算．