Question

如圖所示，平面直角坐標(biāo)系的y軸豎直向上，x軸上的P點(diǎn)與Q點(diǎn)關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)O對稱，距離為2a．有一簇質(zhì)量為m、帶電量為+q的帶電微粒，在xoy平面內(nèi)，從P點(diǎn)以相同的速率斜向右上方的各個(gè)方向射出（即與x軸正方向的夾角θ，0°＜θ＜90°），經(jīng)過某一個(gè)垂直于xoy平面向外、磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B的有界勻強(qiáng)磁場區(qū)域后，最終會聚到Q點(diǎn)，這些微粒的運(yùn)動軌跡關(guān)于y軸對稱．為使微粒的速率保持不變，需要在微粒的運(yùn)動空間再施加一個(gè)勻強(qiáng)電場．重力加速度為g．求：
（1）勻強(qiáng)電場場強(qiáng)E的大小和方向；
（2）若一個(gè)與x軸正方向成30°角射出的微粒在磁場中運(yùn)動的軌道半徑也為a，求微粒從P點(diǎn)運(yùn)動到Q點(diǎn)的時(shí)間t；
（3）若微粒從P點(diǎn)射出時(shí)的速率為v，試推導(dǎo)微粒在x＞0的區(qū)域中飛出磁場的位置坐標(biāo)x與y之間的關(guān)系式．

Answer 1

（1）由題意知，要保證微粒的速率不變，則微粒所受電場力與重力平衡：
                 qE=mg…①
   解得：E=

mg

q

…②方向豎直向上
  （2）設(shè)A、C分別為微粒在磁場中運(yùn)動的射入點(diǎn)和射出點(diǎn)，根據(jù)題意畫出微粒的運(yùn)動軌跡如圖所示根據(jù)幾何關(guān)系可得：
           

AC

=

2θ

360°

2πa…③
           PA=

a

cosθ

atanθ…④
設(shè)微粒運(yùn)動的速率為v，由牛頓定律：
              qvB=m

v2

a

…⑤
微粒從P點(diǎn)運(yùn)動到Q運(yùn)動的路程為s，則：
              s=2PA+

AC

AC…⑥
               t=

s

v

聯(lián)解③④⑤⑥得：
          t=

(2 3 +π)m

3qB

…⑦
（3）根據(jù)題意作出粒子在x＞0區(qū)域內(nèi)的運(yùn)動示意如圖所示，設(shè)微粒飛出磁場位置為C，在磁場中運(yùn)動的軌道半徑為r，根據(jù)牛頓定律和幾何關(guān)系可得：
           qBv=m

v2

r

…⑧
              x=rsinθ…（⑨
      y=(

a

cosθ

-rtanθ)sinθ   …⑩
聯(lián)解（⑧⑨⑩）得：
    y=

Bq(ax-x2)

m2v2-B2q2x2

…（14）



答案為：（1勻強(qiáng)電場場強(qiáng)：E=

mg

q

，方向豎直向上
       （2）微粒從P點(diǎn)運(yùn)動到Q點(diǎn)的時(shí)間：t=

(2 3 +π)m

3qB

        （3微粒在x＞0的區(qū)域中飛出磁場的位置坐標(biāo)x與y之間的關(guān)系式：y=

Bq(ax-x2)

m2v2-B2q2x2