Question

【題目】在豎直平面內(nèi)，支在原點(diǎn)的一根彎桿，其形狀可以用函數(shù)來描寫，為有長度量綱的非零正常數(shù)，在桿上穿一滑塊，桿與滑塊間的靜摩擦因數(shù)為，如圖所示。

(1)不考慮摩擦，求滑塊的高度為時(shí)，它在沿桿方向的加速度的大小，下列5種答案中有一個(gè)是正確的，試作出判斷并說明理由：，，，，；

(2)考慮摩擦，但桿不動(dòng)，在什么情況下滑塊可以在桿上靜止？（用，，，表示）

(3)現(xiàn)在設(shè)桿以角速度繞軸勻速轉(zhuǎn)動(dòng)，且有關(guān)系，這時(shí)滑塊可以在何處相對于桿靜止？

(4)若，則滑塊不滑動(dòng)的條件又如何？

Answer 1

【答案】(1)；(2)；(3)；(4)或

【解析】

(1)由分析知道在不考慮摩擦?xí)r，滑塊在桿上運(yùn)動(dòng)的加速度即為重力加速度的切向分量

其中為滑塊所在點(diǎn)桿的法線與重力方向的夾角，一般不為零，且一定不超過，當(dāng)時(shí)，桿近于豎直，趨近于，于是可判斷

由此可得

，

(2)由分析知道考慮摩擦而桿不動(dòng)，則滑塊靜止為靜力平衡，滑塊受重力影響有下滑趨勢，摩擦力向上，支持力和摩擦力大小分別為

，

平衡條件要求

或

設(shè)時(shí)，則滑塊靜止的條件為

(3)由分析知道當(dāng)桿勻速轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，則在滑塊相對于桿不動(dòng)時(shí)，支持力和摩擦力在豎直方向的分力之和與重力平衡，在水平方向的分力之和使滑塊產(chǎn)生水平的向心加速度，由此可得（不妨設(shè)摩擦力沿桿向上）

由以上二式可得，

，

當(dāng)時(shí)，有，即無摩擦力。

向心加速度完全由重力和支持力的合力提供，這個(gè)關(guān)系對任何都能滿足，即此時(shí)滑塊在任何位置都相對于桿靜止。

(4)當(dāng)時(shí)，，由

可知，即摩擦力實(shí)際是向下的，由于旋轉(zhuǎn)太快而滑塊上有上移的趨勢，滑塊相對靜止的條件為

即

或

此二次函數(shù)不等式的判別式為

故不等式滿足的條件為

或

用

代入，即得滑塊不滑動(dòng)的條件為

或