Question

半徑分別為r和2r的兩個(gè)質(zhì)量不計(jì)的圓盤(pán)，共軸固定連結(jié)在 一起，可以繞水平軸O無(wú)摩擦轉(zhuǎn)動(dòng)，大圓盤(pán)的邊緣上固定有一個(gè)質(zhì)量為m的質(zhì)點(diǎn)，小圓盤(pán)上繞有細(xì)繩，繩的另一端通過(guò)一個(gè)可繞光滑水平軸轉(zhuǎn)動(dòng)的輕定滑輪懸掛一個(gè)質(zhì)量也為m的物體．開(kāi)始時(shí)托住物體讓圓盤(pán)靜止，質(zhì)點(diǎn)處在水平軸O的正下方位置．放開(kāi)物體，兩圓盤(pán)轉(zhuǎn)動(dòng)，當(dāng)兩圓盤(pán)轉(zhuǎn)過(guò)的角度θ時(shí)，質(zhì)點(diǎn)m的速度為

8gr(θ+2cosθ-2) 5

；若將物體除去，改為以水平恒力F拉細(xì)繩，使兩圓盤(pán)轉(zhuǎn)動(dòng)，若恒力 F=mg，兩圓盤(pán)轉(zhuǎn)過(guò)的角度θ=

π

6

時(shí)，質(zhì)點(diǎn)m的速度最大．若圓盤(pán)轉(zhuǎn)過(guò)的最大角度θ=π/3，則此時(shí)恒力F=

3mg

π

．

Answer 1

分析：當(dāng)兩圓盤(pán)轉(zhuǎn)過(guò)的角度θ時(shí)，兩個(gè)物體構(gòu)成的系統(tǒng)減小的重力勢(shì)能等于增加的動(dòng)能，根據(jù)機(jī)械能守恒定律列式求解；當(dāng)F的力矩大于mg的力矩時(shí)，質(zhì)點(diǎn)m的速度增大，當(dāng)F的力矩小于mg的力矩時(shí)，質(zhì)點(diǎn)m的速度減小，則當(dāng)兩者力矩相等時(shí)，質(zhì)點(diǎn)m的速度最大．根據(jù)力矩平衡條件列方程求解．再能量守恒定律求解F．

解答：解：設(shè)質(zhì)點(diǎn)的速度為v，同軸轉(zhuǎn)動(dòng)角速度相等，根據(jù)公式v=rω，則物體的速度為0.5v；
當(dāng)兩圓盤(pán)轉(zhuǎn)過(guò)的角度θ時(shí)，兩個(gè)物體構(gòu)成的系統(tǒng)減小的重力勢(shì)能等于增加的動(dòng)能，根據(jù)機(jī)械能守恒定律，有：
mg?rθ-mg?2r（1-cosθ）=

1

2

mv2+

1

2

m(0.5v)2；
解得：v=

8gr(θ+2cosθ-2) 5

；
當(dāng)F的力矩等于mg的力矩時(shí)，質(zhì)點(diǎn)m的速度最大．
則有Fr=mg?2rsinθ
又F=mg
解得θ=

π

6

根據(jù)能量守恒定律得
F?

π

3

r=mg?2rcos

π

3

解得F=

3mg

π

本題答案是：

8gr(θ+2cosθ-2) 5

，

π

6

，

3mg

π

．

點(diǎn)評(píng)：本題關(guān)鍵在于分析什么時(shí)候質(zhì)點(diǎn)的速度最大，要根據(jù)力矩的作用使物體產(chǎn)生轉(zhuǎn)動(dòng)來(lái)分析；同時(shí)要能結(jié)合功能關(guān)系和能量守恒定律列方程求解．