Question

【題目】如下圖所示,質(zhì)量分別為和的兩個(gè)星球和在引力作用下都繞點(diǎn)做勻速圓周運(yùn)動(dòng),星球和兩者中心之間的距離為.已知、的中心和三點(diǎn)始終共線, 和分別在的兩側(cè).引力常數(shù)為.

（1）求兩星球做圓周運(yùn)動(dòng)的周期;

（2）在地月系統(tǒng)中,若忽略其他星球的影響.可以將月球和地球看成上述星球和,月球繞其軌道中心運(yùn)行的周期記為.但在近似處理問(wèn)題時(shí),常常認(rèn)為月球是繞地心做圓周運(yùn)動(dòng)的,這樣算得的運(yùn)行周期記為.已知地球和月球的質(zhì)量分別為和.求與兩者平方之比.(結(jié)果保留3位小數(shù))

Answer 1

【答案】（1）（2）1.012

【解析】

解：（1）兩星球圍繞同一點(diǎn)O做勻速圓周運(yùn)動(dòng),其角速度大小相同, 周期也相同,其所需向心力由兩者間的萬(wàn)有引力提供,設(shè)A、B的軌道半徑分別為r2、r1,由牛頓第二定律知:

對(duì)于B有

對(duì)于A有

又r1+r2=L

聯(lián)立解得

（2）在地月系統(tǒng)中,由于地月系統(tǒng)旋轉(zhuǎn)所圍繞的中心不在地心,月球做圓周運(yùn)動(dòng)的周期可得出：

式中, 和分別是地球和月球的質(zhì)量, 是地心與月心之間的距離.

若認(rèn)為月球在地球的引力作用下繞地心做勻速圓周運(yùn)動(dòng),則

式中, 為月球繞地心運(yùn)動(dòng)的周期.

得

則,

代入題給數(shù)據(jù)得.