Question

3．如圖所示，長(zhǎng)為L(zhǎng)的均勻輕質(zhì)細(xì)桿OA，一端通過(guò)光滑鉸鏈固定在地面O處，在細(xì)桿中點(diǎn)B處固定一質(zhì)量為m的圓環(huán)，環(huán)上系一根細(xì)繩，細(xì)繩繞過(guò)兩個(gè)光滑定滑輪后懸掛著物體D，物體D的質(zhì)量為$\frac{1}{3}$m，D離滑輪足夠遠(yuǎn)．在外力F的作用下使細(xì)桿與地面保持夾角θ為60°，此時(shí)細(xì)繩CB與桿的夾角也為60°．求：
（1）外力F的最小值．
（2）撤去外力F后，細(xì)桿從圖示位置繞O點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)至小環(huán)B與物體D速度大小相等的過(guò)程中，系統(tǒng)重力勢(shì)能的變化量．
（3）撤去外力F后，細(xì)桿繞O點(diǎn)轉(zhuǎn)到地面前的瞬間，物體D的速度大�。�

Answer 1

分析 （1）根據(jù)力矩平衡條件，當(dāng)力臂最長(zhǎng)時(shí)，外力最�。�當(dāng)F作用在A點(diǎn)且與桿垂直斜向上時(shí)，F(xiàn)最�。�由力矩平衡條件求出F最小值．
（2）撤去外力F后，細(xì)桿從圖示位置到繞O點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)，物體D上升重力勢(shì)能增大，圓環(huán)下降，重力勢(shì)能減小，根據(jù)幾何知識(shí)求出D上升的高度和B下降的高度，進(jìn)而求出系統(tǒng)（指圓環(huán)和物體D）重力勢(shì)能的變化量．
（3）根據(jù)圓周運(yùn)動(dòng)知識(shí)，研究細(xì)桿繞O點(diǎn)轉(zhuǎn)到地面的瞬間桿的角速度與物體D速度的關(guān)系，根據(jù)機(jī)械能守恒定律列方程求解．

解答 解：（1）要使F最小，F(xiàn)必須作用于A點(diǎn)，且方向垂直于桿斜向上．以O(shè)點(diǎn)為支點(diǎn)．
根據(jù)力矩平衡條件M_順=M_逆得
   FL+$\frac{1}{3}$mgsin60°$\frac{L}{2}$=mg•$\frac{L}{2}$cos60°
解得 F=$\frac{mg}{4}$-$\frac{\sqrt{3}mg}{12}$
（2）由幾何知識(shí)可得：CO=2×$\frac{L}{2}$cos30°=$\frac{\sqrt{3}}{2}$L
當(dāng)系在B點(diǎn)的繩子與桿垂直時(shí)，小環(huán)B與物體D速度大小相等，設(shè)此時(shí)桿與水平方向的夾角為α．
則sinα=$\frac{BO}{CO}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$
則系統(tǒng)重力勢(shì)能的變化量△E_p=-W_G=mg（cosα-$\frac{L}{2}$）-$\frac{1}{3}$mg•$\frac{L}{2}$（sin60°-sinα）
解得△E_p=（$\frac{2\sqrt{2}-\sqrt{3}-2}{12}$）mgL
（3）系統(tǒng)動(dòng)能定理  W_合=△E_K得
  W_G1+W_G2=△E_K
即：mgcos30°•$\frac{L}{2}$-$\frac{mg}{3}$（L-$\frac{L}{2}$）=$\frac{1}{2}•\frac{m}{3}{v}^{2}$+$\frac{1}{2}mv{′}^{2}$
又有 v=v′cos30°
聯(lián)立解得：細(xì)桿繞O點(diǎn)轉(zhuǎn)到地面前的瞬間，物體D的速度 v=$\sqrt{\frac{3\sqrt{3}-2}{10}gL}$
答：
（1）外力F的最小值是$\frac{mg}{4}$-$\frac{\sqrt{3}mg}{12}$．
（2）撤去外力F后，細(xì)桿從圖示位置繞O點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)至小環(huán)B與物體D速度大小相等的過(guò)程中，系統(tǒng)重力勢(shì)能的變化量是（$\frac{2\sqrt{2}-\sqrt{3}-2}{12}$）mgL．
（3）撤去外力F后，細(xì)桿繞O點(diǎn)轉(zhuǎn)到地面前的瞬間，物體D的速度大小為$\sqrt{\frac{3\sqrt{3}-2}{10}gL}$．

點(diǎn)評(píng) 本題是連接體問(wèn)題，關(guān)鍵要分析兩個(gè)物體速度的關(guān)系，要抓住兩個(gè)物體沿繩子方向的分速度大小相等．對(duì)系統(tǒng)運(yùn)用動(dòng)能定理時(shí)，要由幾何知識(shí)求出圓環(huán)下降的高度．