Question

5．如圖所示，在豎直平面內(nèi)除了圓形區(qū)域外空間存在著范圍足夠大的垂直紙面向外的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B，O點(diǎn)是圓形區(qū)域的圓心，A點(diǎn)是圓形區(qū)域上一點(diǎn)，在圓形區(qū)域內(nèi)水平直徑CD以下有垂直紙面向外的勻強(qiáng)磁場(chǎng)（圖中未畫出），磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B′=$\sqrt{3}$B，OA與水平直徑CD夾角為60°，圓形區(qū)域的半徑為a，一個(gè)質(zhì)量為m，電荷量為q的帶正電的粒子從磁場(chǎng)中的某點(diǎn)P以水平方向速度垂直進(jìn)入磁場(chǎng)，恰好沿AO方向進(jìn)入圓形磁場(chǎng)區(qū)域，已知P點(diǎn)與圓心O的水平距離為2a，不計(jì)粒子的重力，求
（1）粒子從P點(diǎn)射入時(shí)的速度大�。�
（2）粒子在圓形區(qū)域磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)的時(shí)間是多少？
（3）若撤去圓形磁場(chǎng)區(qū)域內(nèi)的磁場(chǎng)，圓形區(qū)域外部磁場(chǎng)不變，則粒子從第一次經(jīng)過(guò)A點(diǎn)到第二次經(jīng)過(guò)A點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的路程和時(shí)間分別是多少？

Answer 1

分析 （1）由初末速度的方向確定在圓外磁場(chǎng)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的圓心，從而由幾何關(guān)系求出軌道半徑與圓形區(qū)域半徑的關(guān)系，再由半徑公式求出從P點(diǎn)射入的速度．
（2）沿AO方向從O點(diǎn)射入圓內(nèi)磁場(chǎng)，先由牛頓第二定律求出在圓內(nèi)磁場(chǎng)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的半徑，結(jié)合圓心與AO垂直，從而確定圓心的位置，從而求出在圓內(nèi)磁場(chǎng)今世偏轉(zhuǎn)的角度，從而求出了在圓內(nèi)磁場(chǎng)中的時(shí)間．
（3）若撤去圓形區(qū)域內(nèi)的磁場(chǎng)，則從Q點(diǎn)入射進(jìn)入圓形區(qū)域在圓形區(qū)域沿直徑做勻速直線運(yùn)動(dòng)，離開圓形區(qū)域進(jìn)入圓外磁場(chǎng)再做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，半徑大小與出射方向找到第一次離開圓形區(qū)域的半徑，畫出軌跡，再由幾何關(guān)系找到轉(zhuǎn)過(guò)的角度．確定再次入射圓形區(qū)域的位置，余次類推，可以畫出第二次經(jīng)過(guò)A點(diǎn)時(shí)的總的軌跡，從而能求出總的路程和時(shí)間．

解答 解：（1）設(shè)粒子在磁場(chǎng)B中運(yùn)動(dòng)的軌道半徑為R₁，由幾何關(guān)系可知
     R₁sin60°+acos60°=2a
    解得${R}_{1}=\sqrt{3}a$
    由洛倫茲力提供向心力得$qvB=\frac{m{v}^{2}}{{R}_{1}}$
    解得$v=\frac{\sqrt{3}qBa}{m}$

（2）設(shè)粒子在圓形區(qū)域內(nèi)磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的軌道半徑為R₂，
    由洛倫茲力提供向心力得：$qvB′=\frac{m{v}^{2}}{{R}_{2}}$
    解得R₂=a，
    因?yàn)镽₂=a，粒子在圓形磁場(chǎng)區(qū)域運(yùn)動(dòng)的軌跡圓心一定位于圓形區(qū)域的圓周上，且所對(duì)應(yīng)的圓心角
   為60⁰，粒子在圓形區(qū)域的磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為${t}_{1}=\frac{T}{6}=\frac{2πa}{6v}=\frac{\sqrt{3}πm}{9qB}$．

（3）粒子第一次經(jīng)過(guò)A點(diǎn)后經(jīng)過(guò)如圖所示的軌跡再次經(jīng)過(guò)A點(diǎn)，由圖可
   知$tanα=\frac{a}{{R}_{1}}=\frac{\sqrt{3}}{3}$，α=30°
   粒子在磁場(chǎng)中做圓周運(yùn)動(dòng)的圓心角為300⁰，粒子再次經(jīng)過(guò)A點(diǎn)在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)
   路程${s}_{1}=3×\frac{300}{360}×2π{R}_{1}=5\sqrt{3}πa$
   在圓形區(qū)域運(yùn)動(dòng)的總路程是$5（\sqrt{3}π+8）a$
   運(yùn)動(dòng)時(shí)間：t₂=$\frac{s}{v}$$（5π+\frac{8}{\sqrt{3}}）\frac{m}{qB}$
答：（1）粒子從P點(diǎn)射入時(shí)的速度大小$\frac{\sqrt{3}qBa}{m}$．
（2）粒子在圓形區(qū)域磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)的時(shí)間是$\frac{\sqrt{3}πm}{9qB}$．
（3）若撤去圓形磁場(chǎng)區(qū)域內(nèi)的磁場(chǎng)，圓形區(qū)域外部磁場(chǎng)不變，則粒子從第一次經(jīng)過(guò)A點(diǎn)到第二次經(jīng)過(guò)A點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的路程$（5\sqrt{3}π+8）a$，時(shí)間為$（5π+\frac{8}{\sqrt{3}}）\frac{m}{qB}$．

點(diǎn)評(píng) 本題的靚點(diǎn)在于第三問(wèn)，撤去圓形內(nèi)部的磁場(chǎng)，在圓內(nèi)做直線運(yùn)動(dòng)而在圓外做圓弧運(yùn)動(dòng)，由半徑大小和洛侖茲力與速度方向垂直確定在圓外做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的圓心，由幾何關(guān)系找到轉(zhuǎn)過(guò)的角度，畫出再次經(jīng)過(guò)A點(diǎn)的軌跡，從而求出總的路程和時(shí)間．