Question

（2013·北京海淀一模，24題）（20分）如圖13所示，光滑、足夠長、不計電阻、軌道間距為l的平行金屬導(dǎo)軌MN、PQ，水平放在豎直向下的磁感應(yīng)強(qiáng)度不同的兩個相鄰的勻強(qiáng)磁場中，左半部分為Ι勻強(qiáng)磁場區(qū)，磁感應(yīng)強(qiáng)度為B₁；右半部分為Ⅱ勻強(qiáng)磁場區(qū)，磁感應(yīng)強(qiáng)度為B₂，且B₁=2B₂。在Ι勻強(qiáng)磁場區(qū)的左邊界垂直于導(dǎo)軌放置一質(zhì)量為m、電阻為R₁的金屬棒a，在Ι勻強(qiáng)磁場區(qū)的某一位置，垂直于導(dǎo)軌放置另一質(zhì)量也為m、電阻為R₂的金屬棒b。開始時b靜止，給a一個向右沖量I后a、b開始運(yùn)動。設(shè)運(yùn)動過程中，兩金屬棒總是與導(dǎo)軌垂直。

（1）求金屬棒a受到?jīng)_量后的瞬間通過金屬導(dǎo)軌的感應(yīng)電流；

（2）設(shè)金屬棒b在運(yùn)動到Ι勻強(qiáng)磁場區(qū)的右邊界前已經(jīng)達(dá)到最大速度，求金屬棒b在Ι勻強(qiáng)磁場區(qū)中的最大速度值；

（3）金屬棒b進(jìn)入Ⅱ勻強(qiáng)磁場區(qū)后，金屬棒b再次達(dá)到勻速運(yùn)動狀態(tài)，設(shè)這時金屬棒a仍然在Ι勻強(qiáng)磁場區(qū)中。求金屬棒b進(jìn)入Ⅱ勻強(qiáng)磁場區(qū)后的運(yùn)動過程中金屬棒a、b中產(chǎn)生的總焦耳熱。

Answer 1

【答案】見解析

【解析】（1）設(shè)金屬棒a受到?jīng)_量I時的速度為v₀，金屬棒a產(chǎn)生的感應(yīng)電動勢為E，金屬軌道中的電流為i，則

     I=mv₀………………………………………………1分

     E=B₁lv₀………………………………………………1分

     i=………………………………………………1分

     i=………………………………………………1分

（2）金屬棒a和金屬棒b在左部分磁場中運(yùn)動過程中所受安培力大小相等、方向相反，合力為零，故a、b組成的，水平方向動量守恒。

金屬棒a和金屬棒b在Ι勻強(qiáng)磁場區(qū)中運(yùn)動過程中達(dá)到的最大速度v_m時，二金屬棒速度相等，感應(yīng)電流為零，二金屬棒勻速運(yùn)動，根據(jù)動量守恒定律有

     mv₀=2mv_m………………………………………………2分

     v_m=………………………………………………2分

（3）金屬棒b進(jìn)入Ⅱ勻強(qiáng)磁場時，設(shè)金屬棒a的感應(yīng)電動勢為E₁，金屬棒b的感應(yīng)電動勢為E₂，

     E₁=B₁lv_m

     E₂=B₂lv_m

     因為   B₁=2 B₂

     所以   E₁=2 E₂………………………………………………2分

    所以，金屬棒b一進(jìn)入Ⅱ勻強(qiáng)磁場，電流立即出現(xiàn)，在安培力作用下金屬棒a做減速運(yùn)動，金屬棒b做加速運(yùn)動。設(shè)金屬棒a在Ι勻強(qiáng)磁場區(qū)運(yùn)動速度從v_m變化到最小速度v_a，所用時間為t，金屬棒b在Ⅱ勻強(qiáng)磁場區(qū)運(yùn)動速度從v_m變化到最大速度為v_b，所用時間也為t，此后金屬棒a、b都勻速運(yùn)動，則

    B₁lv_a= B₂lv_b………………………………………………3分

即 v_b=2v_a………………………………………………1分

設(shè)在t時間內(nèi)通過金屬棒a、b的電流平均值為

根據(jù)動量定理有

B₁lt=mv_a-mv_m  方向向左………………………………………………1分

B₂lt=mv_b-mv_m  方向向右………………………………………………1分

解得：………………………………………………1分

      ………………………………………………1分

設(shè)金屬棒b進(jìn)入Ⅱ勻強(qiáng)磁場后，金屬棒a、b產(chǎn)生的總焦耳熱為Q，根據(jù)能量守恒，有

……………………………………1分

Q=……………………………………1分