Question

光滑的水平面上固定有左、右兩豎直擋板，擋板間距離足夠長(zhǎng)，有一質(zhì)量為M，長(zhǎng)為L(zhǎng)的長(zhǎng)木板靠在左側(cè)擋板處，另有一質(zhì)量為m的小物塊（可視為質(zhì)點(diǎn)），放置在長(zhǎng)木板的左端，已知小物塊與長(zhǎng)木板間的動(dòng)摩擦因數(shù)為μ，且M＞m，現(xiàn)使小物塊和長(zhǎng)木板以共同速度v₀向右運(yùn)動(dòng)，設(shè)長(zhǎng)木板與左一右擋板的碰撞中無(wú)機(jī)械能損失．重力加速度為g．
（1）將要發(fā)生第二次碰撞時(shí)，小物塊與木板的共同速度多大？
（2）為使小物塊最終不從長(zhǎng)木板上落下，板長(zhǎng)L應(yīng)滿足什么條件？
（3）若滿足（2）中條件，且M=2kg，m=1kg，v₀=10m/s，μ=0.6．計(jì)算整個(gè)系統(tǒng)在剛要發(fā)生第四次碰撞前損失的機(jī)械能和此時(shí)物塊距離木板最左端的長(zhǎng)度．

Answer 1

分析：（1）選取正方向，運(yùn)用動(dòng)量定理來(lái)確定共同運(yùn)動(dòng)的速度；
（2）以木板為參考系，選取物塊為研究對(duì)象，利用動(dòng)能定理結(jié)合發(fā)生的位移，可確定物塊最終不從長(zhǎng)木板上落下，板的長(zhǎng)度；
（3）分別運(yùn)用動(dòng)量定理與動(dòng)能定理列出每次碰撞時(shí)兩定理的式子，從而求出第四次碰撞前損失的機(jī)械能．以木板為參考系，列出四次的相對(duì)位移表達(dá)式．再根據(jù)位移方向，從而確定物塊距離木板最左端的長(zhǎng)度．

解答：解：（1）選M運(yùn)動(dòng)方向?yàn)檎�方�?BR>Mv₀-mv₀=（M+m）v₁
v1=

M-m

m+M

v0
（2）由運(yùn)動(dòng)過(guò)程分析可知，木板第一次撞墻后，小物塊相對(duì)木板向左滑行的距離最大，若此時(shí)的相對(duì)位移為s₁，則
μmgs1=

1

2

(M+m)

v

2 0

-

1

2

(m+M)

v

2 1

L≥s₁時(shí)，即L≥

2M

(M+m)μg

v

2 0

（3）二次撞前：Mv₀-mv₀=（m+M）v₁
三次撞前：Mv₁-mv₁=（M+m）v₂
四次撞前：Mv₂-mv₂=（M+m）v₃
△E=

1

2

(m+M)

v

2 0

-

1

2

(m+M)

v

2 3

≈149.79J
二次撞前：相對(duì)于小車(chē)向左運(yùn)動(dòng)s1=

2M

(M+m)μg

v

2 0

三次撞前：相對(duì)于小車(chē)向右運(yùn)動(dòng)s2=

2M

(M+m)μg

v

2 1

四次撞前：相對(duì)于小車(chē)向左運(yùn)動(dòng)s3=

2M

(M+m)μg

v

2 2

由于物塊相對(duì)于小車(chē)往復(fù)運(yùn)動(dòng)，故四次撞前距離小車(chē)最左端長(zhǎng)度
d=s₁-s₂+s₃
代入數(shù)據(jù)得d≈20m
答：（1）將要發(fā)生第二次碰撞時(shí)，小物塊與木板的共同速度

M-m

M+m

v0；
（2）為使小物塊最終不從長(zhǎng)木板上落下，板長(zhǎng)L應(yīng)滿足即L≥

2M

(M+m)μg

v

2 0

；
（3）若滿足（2）中條件，且M=2kg，m=1kg，v₀=10m/s，μ=0.6．計(jì)算整個(gè)系統(tǒng)在剛要發(fā)生第四次碰撞前損失的機(jī)械能149.79J；此時(shí)物塊距離木板最左端的長(zhǎng)度約為20m．

點(diǎn)評(píng)：本題考查動(dòng)量定理與動(dòng)能定理，并多次在不同過(guò)程中使用，讓同學(xué)們更能熟練的掌握規(guī)律．同時(shí)此處巧取木板作為參考系，注意位移與速度均要相對(duì)木板的值．