Question

天文學(xué)家將相距較近、僅在彼此的引力作用下運(yùn)行的兩顆恒星稱為雙星．雙星系統(tǒng)在銀河系中很普遍．經(jīng)觀測(cè)某雙星系統(tǒng)中兩顆恒星A、B圍繞它們連線上的某一固定點(diǎn)分別做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，周期均為T．已知恒星A、B之間的距離為L(zhǎng)，A、B的質(zhì)量之比2：1，萬(wàn)有引力常量為G，求：
（1）恒星A做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的軌道半徑R_A；
（2）雙星的總質(zhì)量M．

Answer 1

分析：這是一個(gè)雙星的問(wèn)題，兩顆恒星圍繞它們連線上的某一固定點(diǎn)分別做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，它們之間的萬(wàn)有引力提供各自的向心力，兩顆恒星有相同的角速度和周期，結(jié)合牛頓第二定律和萬(wàn)有引力定律解決問(wèn)題．

解答：解：（1）如圖，
設(shè)雙星中質(zhì)量為m₁的天體軌道半徑為R_A，質(zhì)量為m₂的天體軌道半徑為R_B
據(jù)萬(wàn)有引力定律和牛頓第二定律，得：G

m1m2

L2

=m1ω2RA----①
G

m1m2

L2

=m2ω2RB----②
R_A+R_B=L----③
由①②③聯(lián)立解得：RA=

m2

m1+m2

L=

1

2+1

L=

1

3

L
（2）根據(jù)萬(wàn)有引力提供向心力：G

m1m2

L2

=m1(

2π

T

)2RA 得
則m1+m2=

4π2L3

GT2

即雙星的總質(zhì)量M=

4π2L3

GT2

答：（1）恒星A做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的軌道半徑R_A為

1

3

L．
（2）雙星的總質(zhì)量M為

4π2L3

GT2

．

點(diǎn)評(píng)：本題是雙星問(wèn)題，與衛(wèi)星繞地球運(yùn)動(dòng)模型不同，兩顆星都繞同一圓心做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，關(guān)鍵抓住條件：相同的角速度和周期．