Question

17．如圖所示，兩足夠長(zhǎng)的平行光滑的金屬導(dǎo)軌MN、PQ相距為L(zhǎng)=1m，導(dǎo)軌平面與水平面夾角α=30⁰，導(dǎo)軌電阻不計(jì)．磁感應(yīng)強(qiáng)度為B₁=2T的勻強(qiáng)磁場(chǎng)垂直導(dǎo)軌平面向上，長(zhǎng)為L(zhǎng)=1m的金屬棒ab垂直于MN、PQ放置在導(dǎo)軌上，且始終與導(dǎo)軌接觸良好，金屬棒的質(zhì)量為m₁=2kg、電阻為R₁=1Ω．兩金屬導(dǎo)軌的上端連接右側(cè)電路，電路中通過(guò)導(dǎo)線接一對(duì)水平放置的平行金屬板，兩板間的距離和板長(zhǎng)均為d=0.5m，定值電阻為R₂=3Ω，現(xiàn)閉合開(kāi)關(guān)S并將金屬棒由靜止釋放，重力加速度為g=10m/s²，試求：

（1）金屬棒下滑的最大速度為多大？
（2）當(dāng)金屬棒下滑達(dá)到穩(wěn)定狀態(tài)時(shí)，R₂消耗的電功率P為多少？
（3）當(dāng)金屬棒穩(wěn)定下滑時(shí)，在水平放置的平行金屬間加一垂直于紙面向里的勻強(qiáng)磁場(chǎng)B₂=1.5T，在下板的右端且非�？拷�下板的位置有一質(zhì)量為m₂=6×10^-4kg、帶電量為q=-2×10^-4C的液滴以初速度v水平向左射入兩板間，該液滴可視為質(zhì)點(diǎn)．要使帶電粒子能從金屬板間射出，初速度v應(yīng)滿(mǎn)足什么條件？（不計(jì)空氣阻力）

Answer 1

分析 （1）當(dāng)金屬棒勻速下滑時(shí)速度最大，根據(jù)共點(diǎn)力的平衡條件結(jié)合閉合電路的歐姆定律、法拉第電磁感應(yīng)定律求解；
（2）整個(gè)回路消耗的電功率為P=m₁gsinα•v_m，根據(jù)串聯(lián)電路的特點(diǎn)求解R₂消耗的電功率；
（3）當(dāng)金屬棒穩(wěn)定下滑時(shí)，求出R₂兩端的電壓，分析粒子的電場(chǎng)力和重力的關(guān)系，確定粒子在磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，根據(jù)帶電粒子從左上方邊界．右上方邊界射出的情況，畫(huà)出軌跡，根據(jù)幾何關(guān)系求解半徑，根據(jù)洛倫茲力提供向心力可得速度大小范圍．

解答 解：（1）當(dāng)金屬棒勻速下滑時(shí)速度最大，設(shè)最大速度為v_m，
根據(jù)共點(diǎn)力的平衡條件可得：m₁gsinα=B₁IL，
而I=$\frac{E}{{R}_{1}+{R}_{2}}=\frac{{B}_{1}L{v}_{m}}{{R}_{1}+{R}_{2}}$，
所以有：m₁gsinα=$\frac{{{B}_{1}}^{2}{L}^{2}{v}_{m}}{{R}_{1}+{R}_{2}}$，
解得：v_m=10m/s；
（2）整個(gè)回路消耗的電功率為P=m₁gsinα•v_m=2×10×0.5×10W=100W，
R₂消耗的電功率為：P₂=$\frac{{R}_{2}}{{R}_{1}+{R}_{2}}P=\frac{3}{1+3}×100W=75W$；
（3）當(dāng)金屬棒穩(wěn)定下滑時(shí)，R₂兩端的電壓為U₂，則：
${U}_{2}=\frac{{B}_{1}L{v}_{m}}{{R}_{1}+{R}_{2}}•{R}_{2}=\frac{2×1×10}{4}×3V=15V$，上極板帶正電；
電場(chǎng)力為：$\frac{q{U}_{2}}qmy0wum$=$\frac{2×1{0}^{-4}×15}{0.5}N=6×1{0}^{-3}N$，
重力為m₂g=6×10^-3N，所以帶電粒子進(jìn)入磁場(chǎng)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)；
當(dāng)帶電粒子從左上方邊界射出時(shí)速度為v₁，半徑為r₁，軌跡如圖所示，

根據(jù)幾何關(guān)系可得r₁=d=0.5m，
根據(jù)洛倫茲力提供向心力可得：qv₁B₂=m₂$\frac{{v}_{1}^{2}}{{r}_{1}}$，
解得：v₁=0.25m/s；
同理可得，當(dāng)帶電粒子從右上方邊界射出時(shí)速度為v₂，半徑為r₂，
根據(jù)幾何關(guān)系可得r₂=$\frac{1}{2}$=0.25m，
根據(jù)洛倫茲力提供向心力可得：qv₂B₂=m₂$\frac{{v}_{2}^{2}}{{r}_{2}}$，
解得：v₁=0.125m/s；
所以速度范圍為v≥0.25m/s或v≤0.125m/s；
答：（1）金屬棒下滑的最大速度為10m/s；
（2）當(dāng)金屬棒下滑達(dá)到穩(wěn)定狀態(tài)時(shí)，R₂消耗的電功率P為75W；
（3）速度范圍為v≥0.25m/s或v≤0.125m/s．

點(diǎn)評(píng) 對(duì)于電磁感應(yīng)問(wèn)題研究思路常常有兩條：一條從力的角度，重點(diǎn)是分析安培力作用下導(dǎo)體棒的平衡問(wèn)題，根據(jù)平衡條件列出方程；另一條是能量，分析涉及電磁感應(yīng)現(xiàn)象中的能量轉(zhuǎn)化問(wèn)題，根據(jù)動(dòng)能定理、功能關(guān)系等列方程求解；對(duì)于帶電粒子在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)情況分析，一般是確定圓心位置，根據(jù)幾何關(guān)系求半徑，結(jié)合洛倫茲力提供向心力求解未知量；根據(jù)周期公式結(jié)合軌跡對(duì)應(yīng)的圓心角求時(shí)間．