Question

【題目】如圖所示，一輕質(zhì)彈簧固定在豎直墻上，質(zhì)量為m的滑塊（可視為質(zhì)點(diǎn)）放置在光滑水平面上，一表面光滑，半徑為R的半圓形軌道固定在水平面上，左端與水平面平滑連接，在半圓軌道右側(cè)有一傾角為斜面固定在水平地面上，有一不計(jì)厚度，長(zhǎng)度為，質(zhì)量為M木板恰好能靜止在斜面上，設(shè)最大靜摩擦力等于滑動(dòng)摩擦力，木板下端距斜面底端為，下列操作中，彈簧始終在彈性限度之內(nèi)，重力加速度為g。

（1）用水平力緩慢推m，使彈簧壓縮到一定程度，然后釋放，m恰能運(yùn)動(dòng)到圓軌道P處脫離軌道，且OP與豎直方向夾角為。求：（I）彈簧壓縮最短時(shí)彈性勢(shì)能（2）m通過圓軌道最高點(diǎn)Q時(shí)對(duì)軌道壓力。

（2）再次用力緩慢推m壓縮彈簧，釋放后，m運(yùn)動(dòng)到Q點(diǎn)水平拋出，恰好能以速度沿平行于斜面方向落到木板頂端，當(dāng)木板下端下滑到斜面底端時(shí)，m恰好滑至木板下端，且與木板速度相等。求：木板從開始運(yùn)動(dòng)到木板下端到達(dá)斜面底端過程中，系統(tǒng)損失的機(jī)械能。

Answer 1

【答案】（1） （2） （3）

【解析】試題分析：當(dāng)m運(yùn)動(dòng)到P處，由牛頓第二定律求出P處的速度，再由能量守恒定律求出彈性勢(shì)能；由能量守恒求出Q點(diǎn)的速度，由牛頓第二定律求出Q點(diǎn)的壓力；由題意可知m相對(duì)M滑動(dòng)過程中，m、M系統(tǒng)在斜面方向上動(dòng)量守恒，動(dòng)量守恒求出共同的速度，再由能量守恒求出系統(tǒng)損失的機(jī)械能。

（1）設(shè)m到達(dá)P處速度為，由牛頓第二定律：

設(shè)彈簧彈性勢(shì)能為，由能量守恒定律有

聯(lián)立解得

（2）設(shè)m到達(dá)Q處速度為，由能量守恒可知

在Q處，設(shè)軌道對(duì)m支持力為，由牛頓第二定律可得：

聯(lián)立以上可得：

根據(jù)牛頓第三定律可得知m對(duì)軌道壓力大小為：

（2）由題意可知m相對(duì)M滑動(dòng)過程中，m、M系統(tǒng)在斜面方向上動(dòng)量守恒，設(shè)M到達(dá)斜面底端速度為，由動(dòng)量守恒可得：

從m滑上木板到木板到達(dá)斜面底端過程中，設(shè)系統(tǒng)損失機(jī)械能為Q，

由能量守恒可得：

聯(lián)立解得：