Question

如圖所示，長為L的絕緣細(xì)線，一端懸于O點(diǎn)，另一端連接一質(zhì)量為m的帶負(fù)電小球，置于水平向右的勻強(qiáng)電場中，在O點(diǎn)正下方釘一個(gè)釘子O′，已知小球受到的電場力為重力的

1

3

，現(xiàn)將細(xì)線向右水平拉直后從靜止釋放，細(xì)線碰到釘子后要使小球剛好繞釘子O′在豎直平面內(nèi)作圓周運(yùn)動，求OO′長度．

Answer 1

分析：本題是一個(gè)擺在重力場和電場的疊加場中的運(yùn)動問題，由于重力場和電場力做功都與路徑無關(guān)，因此可以把兩個(gè)場疊加起來看成一個(gè)等效力場來處理，如圖所示，分析小球的運(yùn)動過程：擺球先沿電場力與重力的合力方向做勻加速直線運(yùn)動，繩子繃緊瞬間，沿繩子方向的分速度突然減小為零，再以切向分速度繞O′點(diǎn)做圓周運(yùn)動．在等效力場中，過點(diǎn)O′做合力F的平行線與圓的交點(diǎn)為Q，即為擺球繞O′點(diǎn)做圓周運(yùn)動的“最高點(diǎn)”，由合力提供向心力，求出“最高點(diǎn)”的臨界速度表達(dá)式，再結(jié)合能量守恒列式求解．

解答：解：由于重力場和電場力做功都與路徑無關(guān)，因此可以把兩個(gè)場疊加起來看成一個(gè)等效力場來處理，如圖所示，有：
tanθ=

mg

Eq

=

mg

1 3 mg

=

3

得：θ=60°
開始時(shí)，擺球在合力F的作用下沿力的方向作勻加速直線運(yùn)動，從A點(diǎn)運(yùn)動到B點(diǎn)，由圖可知，△AOB為等邊三角形，則擺球從A到B，在等效力場中，由能量守恒定律得：F=

1

2

m

v

2 B

　
在B點(diǎn)處，由于在極短的時(shí)間內(nèi)細(xì)線被拉緊，擺球受到細(xì)線拉力的沖量作用，法向分量v₂變?yōu)榱�，切向分量為�?br />v₁=v_Bcos30°=

3

2

vB
接著擺球以v₁為初速度沿圓弧BC做變速圓周運(yùn)動，碰到釘子O′后，在豎直平面內(nèi)做圓周運(yùn)動，在等效力場中，過點(diǎn)O′做合力F的平行線與圓的交點(diǎn)為Q，即為擺球繞O′點(diǎn)做圓周運(yùn)動的“最高點(diǎn)”，在Q點(diǎn)應(yīng)滿足：F=m

v 2 Q

R

根據(jù)能量守恒定律得：

1

2

m

v

2 1

+（-

1

2

FL）=

1

2

m

v

2 Q

+[-F（L-R）cos30°-R]
聯(lián)立方程可解得：R=

2 3 +1

2 3 +6

L
所以得：OO′=L-R=

5

2 3 +6

L
答：OO′長度是

5

2 3 +6

L．

點(diǎn)評：考生以前做過不少“在重力場中釋放擺球．?dāng)[球沿圓弧線運(yùn)動的習(xí)題”．受到這道題思維定勢的影響，沒能分析出本題的擺球是在重力場和電場疊加場中運(yùn)動．小球同時(shí)受到重力和電場力的作用，這兩個(gè)力對擺球運(yùn)動軌跡都有影響．受“最高點(diǎn)”就是幾何上的最高點(diǎn)的思維定勢的影響，沒能分析清楚物理意義上的“最高點(diǎn)”含義．在重力場中應(yīng)是重力方向上物體運(yùn)動軌跡的最高點(diǎn)，恰好是幾何意義上的最高點(diǎn)．而本題中，“最高點(diǎn)”則是重力與電場力的合力方向上擺球運(yùn)動的軌跡的最高點(diǎn)．