Question

如圖所示，在坐標(biāo)原點(diǎn)O處，能向四周均勻發(fā)射速度大小相等、方向都平行于紙面的帶正電粒子．在O點(diǎn)右側(cè)有一半徑為R的圓形薄板，薄板中心O′位于x軸上，且與x軸垂直放置，薄板的兩端M、N與原點(diǎn)O正好構(gòu)成等腰直角三角形．已知帶電粒子的質(zhì)量為m，帶電量為q，速率為v，重力不計(jì)．
（1）要使y軸右側(cè)所有運(yùn)動(dòng)的粒子都能打到薄板MN上，可在y軸右側(cè)加一平行于x軸的勻強(qiáng)電場，則場強(qiáng)的最小值E₀為多大？在電場強(qiáng)度為E₀時(shí)，打到板上的粒子動(dòng)能為多大？
（2）要使薄板右側(cè)的MN連線上都有粒子打到，可在整個(gè)空間加一方向垂直紙面向里的勻強(qiáng)磁場，則磁場的磁感應(yīng)強(qiáng)度不能超過多少（用m、v、q、R表示）？若滿足此條件，從O點(diǎn)發(fā)射出的所有帶電粒子中有幾分之幾能打在板的左邊？

Answer 1

分析：（1）要使y軸右側(cè)所有運(yùn)動(dòng)粒子都能打在 MN板上，其臨界條件為：沿y軸方向運(yùn)動(dòng)的粒子作類平拋運(yùn)動(dòng)，且落在M或N點(diǎn)．根據(jù)牛頓第二定律求出電場強(qiáng)度的最小值，根據(jù)動(dòng)能定理求解打到板上粒子的動(dòng)能．
（2）加勻強(qiáng)磁場后，粒子沿逆時(shí)針方向做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，當(dāng)軌跡以O(shè)′為圓心同時(shí)過M、N兩點(diǎn)時(shí)，軌跡直徑最小，得到粒子圓周運(yùn)動(dòng)的半徑，由牛頓第二定律求出B的最大值．從O點(diǎn)向第四象限發(fā)射出的粒子均能打在MN板的左側(cè)，占發(fā)射粒子總數(shù)的

1

4

．

解答：解：（1）由題意知，要使y軸右側(cè)所有運(yùn)動(dòng)粒子都能打在 MN板上，其臨界條件為：沿y軸方向運(yùn)動(dòng)的粒子作類平拋運(yùn)動(dòng)，且落在M或N點(diǎn)．
  沿y軸方向，R=vt 
  沿x軸方向，R=

1

2

at²  
加速度    a=

qE0

m

解得E₀=

2mv2

qR

由動(dòng)能定理知  qE₀R=E_k-

1

2

mv2
解得E_k=

5

2

mv2
（2）加勻強(qiáng)磁場后，粒子沿逆時(shí)針方向做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，當(dāng)軌跡以O(shè)′為圓心同時(shí)過M、N兩點(diǎn)時(shí)，軌跡直徑最�。ㄈ鐖D所示），且等于MN，即軌跡半徑r=R，
由牛頓第二定律得  qvB=m

v2

r

解得  B=

mv

qR

即磁感應(yīng)強(qiáng)度不能超過

mv

qR

．
從O點(diǎn)向第四象限發(fā)射出的粒子均能打在MN板的左側(cè)，占發(fā)射粒子總數(shù)的

1

4

．
答：（1）場強(qiáng)的最小值E₀為

2mv2

qR

，打到板上的粒子動(dòng)能為

5

2

mv2；
（2）磁感應(yīng)強(qiáng)度不能超過

mv

qR

，從O點(diǎn)向第四象限發(fā)射出的粒子均能打在MN板的左側(cè)，占發(fā)射粒子總數(shù)的

1

4

．

點(diǎn)評(píng)：本題中粒子在電場中做類平拋運(yùn)動(dòng)時(shí)運(yùn)用運(yùn)動(dòng)的合成和分解法研究，在磁場中要通過畫出軌跡，確定臨界條件求解磁感應(yīng)強(qiáng)度．