Question

有一傾角為θ的斜面，其底端固定一擋板M，另有三個(gè)木塊A、B和C，它們的質(zhì)量分別為m_A=m_B=m，m_C=3m，它們與斜面間的動(dòng)摩擦因數(shù)都相同．其中木塊A放于斜面上并通過(guò)一輕彈簧與擋板M相連，如圖所示．開始時(shí)，木塊A靜止在P處，彈簧處于自然伸長(zhǎng)狀態(tài)．木塊B在Q點(diǎn)以初速度v₀向下運(yùn)動(dòng)，P、Q間的距離為L(zhǎng)．已知木塊B在下滑過(guò)程中做勻速直線運(yùn)動(dòng)，與木塊A相撞后立刻一起向下運(yùn)動(dòng)，但不粘連．它們到達(dá)一個(gè)最低點(diǎn)后又向上運(yùn)動(dòng)，木塊B向上運(yùn)動(dòng)恰好能回到Q點(diǎn)．若木塊A仍靜放于P點(diǎn)，木塊C從Q點(diǎn)處開始以初速度

2

3

v0向下運(yùn)動(dòng)，經(jīng)歷同樣過(guò)程，最后木塊C停在斜面的R點(diǎn)，求：
（1）木塊B與A相撞后瞬間的速度v₁．
（2）彈簧第一次被壓縮時(shí)獲得的最大彈性勢(shì)能Ep．
（3）P、R間的距離L′的大小．

Answer 1

分析：（1）木塊B下滑做勻速直線運(yùn)動(dòng)，有mgsinθ=μmgcosθ①，碰撞前后動(dòng)量守恒，根據(jù)動(dòng)量守恒定律即可求解；
（2）在木塊壓縮彈簧的過(guò)程中，重力對(duì)木塊所做的功與摩擦力對(duì)木塊所做的功大小相等，因此彈簧被壓縮而具有的最大彈性勢(shì)能等于開始?jí)嚎s時(shí)兩木塊的總動(dòng)能．
（3）分析兩木塊的運(yùn)動(dòng)情況，根據(jù)動(dòng)能定理及動(dòng)量守恒定律列式即可求解．

解答：解：（1）木塊B下滑做勻速直線運(yùn)動(dòng)，有mgsinθ=μmgcosθ①
B和A相撞前后，總動(dòng)量守恒，mv₀=2mv₁，所以v1=

v0

2

 ②
（2）由①式可知在木塊壓縮彈簧的過(guò)程中，重力對(duì)木塊所做的功與摩擦力對(duì)木塊所做的功大小相等，
因此彈簧被壓縮而具有的最大彈性勢(shì)能等于開始?jí)嚎s時(shí)兩木塊的總動(dòng)能．
E_P=

1

4

mv₀²
（3）設(shè)兩木塊向下壓縮彈簧的最大長(zhǎng)度為S，兩木塊被彈簧彈回到P點(diǎn)時(shí)的速度為V₂，則μ2mgcosθ?2S=

1

2

.2m

v

2 1

-

1

2

?2m

v

2 2

③
兩木塊在P點(diǎn)處分開后，木塊B上滑到Q點(diǎn)的過(guò)程：(mgsinθ+μmcos+θ)L=

1

2

m

v

2 2

④
木塊C與A碰撞前后，總動(dòng)量守恒，3m?

2

3

v₀=4mv′₁
解得：v′1=

2

4

v₀  ⑤
設(shè)木塊C和A壓縮彈簧的最大長(zhǎng)度為S'，兩木塊被彈簧回到P點(diǎn)時(shí)的速度為V'₂，則μ4mgcosθ?2S′=

1

2

4mv

′

2 1

-

1

2

?4mv

′

2 2

⑥
木塊C與A在P點(diǎn)處分開后，木塊C上滑到R點(diǎn)的過(guò)程：(3mgsinθ+μ3mgcosθ)L′=

1

2

?3mv

′

2 2

⑦
∵木塊B和A壓彈簧的初動(dòng)能Ek1=

1

2

?2m

v

2 1

=

1

4

m

v

2 0

木塊C和A壓縮彈簧的初動(dòng)能Ek2=

1

2

?4mv

′

2 1

=

1

4

m

v

2 0

即E_k1=E_k2，因此彈簧前后兩次的最大壓縮量相等，即S=S'⑧
聯(lián)立①至⑧式，解得L′=L-

v 2 0

32gsinθ

⑨
答：（1）木塊B與A相撞后瞬間的速度為

v0

2

．
（2）彈簧第一次被壓縮時(shí)獲得的最大彈性勢(shì)能為

1

4

mv₀²．
（3）P、R間的距離L′的大小為L-

v 2 0

32gsinθ

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了動(dòng)量守恒定律及動(dòng)能定理的應(yīng)用，要求同學(xué)們能正確選擇運(yùn)動(dòng)過(guò)程，運(yùn)用定律求解，難度較大．