Question

4．如圖所示，在xOy平面的第Ⅱ象限內(nèi)有半徑為R的圓分別與x軸、y軸相切于P、Q兩點(diǎn)，圓內(nèi)（及圓周上）存在垂直于xOy平面向外的勻強(qiáng)磁場(chǎng)．在第I象限內(nèi)存在沿y軸負(fù)方向的勻強(qiáng)電場(chǎng)．一質(zhì)量為m、電荷量為q的帶正電的粒子（不計(jì)重力）以速率v₀（在紙面內(nèi)）從P點(diǎn)與x軸夾角為θ=90°射入磁場(chǎng)后，恰好經(jīng)過(guò)Q點(diǎn)進(jìn)入電場(chǎng)，最后從M點(diǎn)射出電場(chǎng)，出射方向與x軸正方向夾角α=45°．求：
（1）勻強(qiáng)電場(chǎng)的電場(chǎng)強(qiáng)度E；
（2）粒子從P點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到M點(diǎn)的時(shí)間；
（3）若在P點(diǎn)有一群上述粒子沿各個(gè)方向射入磁場(chǎng)（即θ范圍 0°〜180°），初速度大小均為v₀，求這些粒子經(jīng)磁場(chǎng)、電場(chǎng)偏轉(zhuǎn)后，粒子通過(guò)x軸的坐標(biāo)最大值X．

Answer 1

分析 （1）粒子在電場(chǎng)中做類平拋運(yùn)動(dòng)，應(yīng)用類平拋運(yùn)動(dòng)規(guī)律可以求出電場(chǎng)強(qiáng)度．
（2）求出粒子在電場(chǎng)與磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)時(shí)間，然后求出總的運(yùn)動(dòng)時(shí)間．
（3）入射角為180度的粒子通過(guò)x軸的坐標(biāo)位置最大，粒子在電場(chǎng)中做類平拋運(yùn)動(dòng)，應(yīng)用類平拋運(yùn)動(dòng)規(guī)律可以解題．

解答 解：（1）粒子在勻強(qiáng)電場(chǎng)做類平拋運(yùn)動(dòng)，
tanα=tan45°=1=$\frac{qE{t}_{2}}{m{v}_{0}}$，
R=$\frac{1}{2}$$\frac{qE}{m}$t₂²，解得：E=$\frac{m{v}_{0}^{2}}{2qR}$；
（2）粒子在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)時(shí)間：t₁=$\frac{1}{4}$T=$\frac{2πR}{4{v}_{0}}$=$\frac{πR}{2{v}_{0}}$，
粒子在電場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)時(shí)間：t₂=$\frac{{v}_{0}}{a}$=$\frac{2R}{{v}_{0}}$，
粒子從P到M的總時(shí)間：t=t₁+t₂=$\frac{（π+4）R}{2{v}_{0}}$；
（3）當(dāng)θ=180°的粒子將從磁場(chǎng)最高點(diǎn)水平射出磁場(chǎng)，
進(jìn)入電場(chǎng)后做類平拋運(yùn)動(dòng)，
X=v₀t′，Y=2R=$\frac{1}{2}$$\frac{qE}{m}$t′²，解得：X=2$\sqrt{2}$R；
答：（1）勻強(qiáng)電場(chǎng)的電場(chǎng)強(qiáng)度E為$\frac{m{v}_{0}^{2}}{2qR}$；
（2）粒子從P點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到M點(diǎn)的時(shí)間為$\frac{（π+4）R}{2{v}_{0}}$；
（3）這些粒子經(jīng)磁場(chǎng)、電場(chǎng)偏轉(zhuǎn)后，粒子通過(guò)x軸的坐標(biāo)最大值X為2$\sqrt{2}$R．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了粒子在磁場(chǎng)與電場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)，分析清楚粒子運(yùn)動(dòng)過(guò)程是解題的前提與關(guān)鍵，帶電粒子在勻強(qiáng)電場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)，要注意應(yīng)用運(yùn)動(dòng)的合成和分解；而在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)為勻速圓周運(yùn)動(dòng)，在解題時(shí)要注意應(yīng)用好平拋和圓周運(yùn)動(dòng)的性．