Question

11．如圖所示，在直角坐標(biāo)系的第Ⅱ象限中，一邊長(zhǎng)為L(zhǎng)的正方形區(qū)域內(nèi)存在磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B、方向垂直xOy平面向里的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁場(chǎng)的下邊界與x軸重合，右邊界與y軸重合，在第Ⅰ、Ⅳ象限x＜L區(qū)域內(nèi)存在沿y軸負(fù)方向的勻強(qiáng)電場(chǎng)，電場(chǎng)強(qiáng)度大小為E，在x＞L區(qū)域內(nèi)存在磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B′、方向垂直紙面向里的矩形勻強(qiáng)磁場(chǎng)；一質(zhì)量為m、電荷量為q的帶正電的粒子（重力不計(jì)）以沿y軸負(fù)方向的速度進(jìn)入第Ⅱ象限的勻強(qiáng)磁場(chǎng)區(qū)域，并從坐標(biāo)原點(diǎn)O處沿x軸正方向射入勻強(qiáng)電場(chǎng)區(qū)域；
（1）求帶電粒子射入第Ⅱ象限的勻強(qiáng)磁場(chǎng)時(shí)的速度大��；
（2）求帶電粒子從勻強(qiáng)電場(chǎng)區(qū)域射出時(shí)的位置坐標(biāo)；
（3）若帶電粒子進(jìn)入x＞L區(qū)域的勻強(qiáng)磁場(chǎng)時(shí)的速度方向與x軸正方向成45^°角，要使帶電粒子能夠回到x＜L區(qū)域，則x＞L區(qū)域矩形勻強(qiáng)磁場(chǎng)的最小面積為多少？

Answer 1

分析 （1）根據(jù)幾何關(guān)系求出粒子做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的半徑，再根據(jù)洛倫茲力提供向心力求出速度；
（2）設(shè)帶電粒子從勻強(qiáng)電場(chǎng)區(qū)域射出時(shí)的縱坐標(biāo)為-y，帶電粒子從坐標(biāo)原點(diǎn)O沿x軸正方向射入勻強(qiáng)電場(chǎng)區(qū)域做類(lèi)平拋運(yùn)動(dòng)，根據(jù)平拋運(yùn)動(dòng)基本公式列式求解即可；
（3）帶電粒子以與x軸正方向成45°角進(jìn)入勻強(qiáng)磁場(chǎng)，求出其速度，根據(jù)洛倫茲力提供向心力求出半徑，畫(huà)出運(yùn)動(dòng)軌跡如圖，根據(jù)幾何關(guān)系求解即可．

解答 解：（1）根據(jù)題述可知帶電粒子的第Ⅱ象限勻強(qiáng)磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的軌道半徑等于正方形區(qū)域的邊長(zhǎng)L，有：$Bqv=m\frac{{v}^{2}}{L}$
解得：$v=\frac{qBL}{m}$
（2）設(shè)帶電粒子從勻強(qiáng)電場(chǎng)區(qū)域射出時(shí)的縱坐標(biāo)為-y，帶電粒子從坐標(biāo)原點(diǎn)O沿x軸正方向射入勻強(qiáng)電場(chǎng)區(qū)域做類(lèi)平拋運(yùn)動(dòng)，有：
L=vt，
$y=\frac{1}{2}a{t}^{2}$，
且qE=ma
聯(lián)立解得：$y=\frac{mE}{2q{B}^{2}}$
帶電粒子從勻強(qiáng)電場(chǎng)區(qū)域射出時(shí)的位置坐標(biāo)為（L，$-\frac{mE}{2q{B}^{2}}$）
（3）帶電粒子以與x軸正方向成45°角進(jìn)入勻強(qiáng)磁場(chǎng)，其速度$v′=\sqrt{2}v=\frac{\sqrt{2}qBL}{m}$
由$B′qv′=m\frac{{v′}^{2}}{R′}$解得：$R′=\frac{\sqrt{2}BL}{B′}$
畫(huà)出運(yùn)動(dòng)軌跡如圖所示，
由幾何關(guān)系可知x＞L區(qū)域勻強(qiáng)磁場(chǎng)的最小寬度為：$d=（1+cos45°）R′=\frac{（1+\sqrt{2}）BL}{B′}$
x＞L區(qū)域矩形勻強(qiáng)磁場(chǎng)的最小面積為S=2R′d=$\frac{2（2+\sqrt{2}）{B}^{2}{L}^{2}}{B{′}^{2}}$．
答：（1）帶電粒子射入第Ⅱ象限的勻強(qiáng)磁場(chǎng)時(shí)的速度大小為$\frac{qBL}{m}$；
（2）求帶電粒子從勻強(qiáng)電場(chǎng)區(qū)域射出時(shí)的位置坐標(biāo)為（L，$-\frac{mE}{2q{B}^{2}}$）；
（3）若帶電粒子進(jìn)入x＞L區(qū)域的勻強(qiáng)磁場(chǎng)時(shí)的速度方向與x軸正方向成45^°角，要使帶電粒子能夠回到x＜L區(qū)域，則x＞L區(qū)域矩形勻強(qiáng)磁場(chǎng)的最小面積為$\frac{2（2+\sqrt{2}）{B}^{2}{L}^{2}}{B{′}^{2}}$．

點(diǎn)評(píng) 帶電粒子在組合場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)問(wèn)題，首先要運(yùn)用動(dòng)力學(xué)方法分析清楚粒子的運(yùn)動(dòng)情況，再選擇合適方法處理．對(duì)于勻變速曲線運(yùn)動(dòng)，常常運(yùn)用運(yùn)動(dòng)的分解法，將其分解為兩個(gè)直線的合成，由牛頓第二定律和運(yùn)動(dòng)學(xué)公式結(jié)合求解；對(duì)于磁場(chǎng)中圓周運(yùn)動(dòng)，要正確畫(huà)出軌跡，由幾何知識(shí)求解半徑．