Question

9．如圖所示光滑管形圓軌道半徑為R（管徑遠小于R），小球a、b大小相同，質量相同，均為m，其直徑略小于管徑，能在管中無摩擦運動兩球先后以相同速度v通過軌道最低點，且當小球a在最低點時，小球b在最高點，以下說法正確的是（　�。�

• A． 當v=$\sqrt{5gR}$時，小球b在軌道最高點對軌道無壓力
• B． 當小球b在最高點對軌道無壓力時，小球a比小球b所需向心力大5mg
• C． 速度v至少為$\sqrt{5gR}$，才能使兩球在管內做圓周運動
• D． 只要v≥$\sqrt{5gR}$，小球a對軌道最低點壓力比小球b對軌道最高點壓力都大6mg

Answer 1

分析 根據(jù)小球的速度，抓住徑向的合力提供向心力求出小球在最高點和最低點所受的彈力，從而得出在最高點和最低點的壓力差；根據(jù)最高點的最小速度，通過動能定理求出小球在最低點的最小速度．

解答 解：A、當小球b在軌道最高點對軌道無壓力，根據(jù)牛頓第二定律得，mg=m$\frac{{v}^{2}}{R}$，解得v=$\sqrt{gR}$．根據(jù)動能定理得mg2R=$\frac{1}{2}$mv²-$\frac{1}{2}$mv′²，解得v=$\sqrt{5gR}$．故A正確．
B、小球b通過最高點無壓力時，速度v=$\sqrt{gR}$，設小球a在最低點的速度為v′，根據(jù)動能定理知，mg•2R=$\frac{1}{2}$mv′²-$\frac{1}{2}$mv²，解得v′=$\sqrt{5gR}$．
所以小球a在最低點的向心力為Fn=m$\frac{v{′}^{2}}{R}$=5mg，b球在最高點的向心力Fn′=m$\frac{{v}^{2}}{R}$=mg，小球a比小球b所需的向心力大4mg．故B錯誤．
C、小球通過最高點的最小速度為零，根據(jù)動能定理得，mg•2R=$\frac{1}{2}$mv2-0，解得最小速度v=$\sqrt{4gR}$．故C錯誤．
D、v≥$\sqrt{5gR}$時，最高點的速度大于等于$\sqrt{gR}$，則小球在最高點受到向下的彈力，設小球在最高點的速度為v₁，最低點的速度為v₂，根據(jù)牛頓第二定律得，
最高點F₁+mg=m$\frac{{v}_{1}^{2}}{R}$，最低點F₂-mg=m$\frac{{v}_{2}^{2}}{R}$，則壓力差△F=F₂-F₁=2mg+m（$\frac{{v}_{2}^{2}-{v}_{1}^{2}}{R}$），又mg•2R=$\frac{1}{2}$mv₂²-$\frac{1}{2}$mv₁²，解得△F=6mg．故D正確．
故選：AD．

點評 本題考查牛頓第二定律和動能定理的綜合，知道圓周運動向心力的來源，以及小球通過最高點的臨界情況是解決本題的關鍵．本題中應注意與桿模型類似．