Question

如圖所示，在xOy平面內(nèi)y＞0的區(qū)域中存在垂直紙面向外的勻強(qiáng)磁場，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B₀，在y＜0的區(qū)域也存在垂直紙面向外的勻強(qiáng)磁場（圖中未畫出），一帶正電的粒子從y軸上的P點(diǎn)垂直磁場入射，速度方向與y軸正向成45°．粒子第一次進(jìn)入y＜0的區(qū)域時(shí)速度方向與x軸正向成135°，再次在y＞0的區(qū)域運(yùn)動(dòng)時(shí)軌跡恰與y軸相切．已知OP的距離為

2

a，粒子的重力不計(jì)，求：
（1）y＜0的區(qū)域內(nèi)磁場的磁感應(yīng)強(qiáng)度大�。�
（2）粒子第2n（n∈N⁺）次通過x軸時(shí)離O點(diǎn)的距離（本問只需寫出結(jié)果）．

Answer 1

分析：根據(jù)題意，帶電粒子在磁場中做圓周運(yùn)動(dòng)，做出符合題意的圓，由幾何關(guān)系求出半徑，求出圓心角，由洛倫茲力提供向心力，求運(yùn)動(dòng)量；由周期公式求時(shí)間．

解答：解：（1）當(dāng)粒子通過y軸時(shí)速度方向沿y軸負(fù)方向時(shí)，粒子運(yùn)動(dòng)的軌跡如圖1所示．
設(shè)粒子第一次．第二次通過x軸上的點(diǎn)為分別為Q、M，粒子在y＞0和y＜0 的區(qū)域作圓周運(yùn)動(dòng)的半徑分別為R₀和R₁，通過y軸上的點(diǎn)為N，y＜0區(qū)域的磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B₁．
連接PQ，由題意知，

.

PQ

=2R0…①
又有幾何關(guān)系可得：PQ=2a…②
由①②式可得：R₀=a…③
過M、N兩點(diǎn)分別作該點(diǎn)速度方向的垂線，兩垂線相交于O₁點(diǎn)，O₁即為粒子在y＞0區(qū)域作圓周運(yùn)動(dòng)的圓心．
由幾何關(guān)系可得：
粒子在y＜0區(qū)域內(nèi)作圓周運(yùn)動(dòng)的弦長 

.

MQ

=(1+

3

2

2

)a
粒子在y＜0區(qū)域內(nèi)作圓周運(yùn)動(dòng)的半徑 R1=

3+ 2

2

a…④
帶電粒子在磁場中作圓廚運(yùn)動(dòng)的半徑公式R=

mv

qB

…⑤
由③④⑤式可得：B1=

2(3- 2 )B0

7

…⑥
當(dāng)粒子通過y軸時(shí)速度方向沿y軸正向時(shí)，粒子運(yùn)動(dòng)的軌跡如圖2所示．
設(shè)粒子第一次、第二次通過x軸上的點(diǎn)為分別為T、S，粒子在y＜0區(qū)域作圓周運(yùn)動(dòng)的半徑為R₂，y＜0區(qū)域的磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B₂
由幾何關(guān)系可以求得：R2=

3- 2

2

a…⑦
由③④⑦式可得：B2=

2(3+ 2 )B0

7

…⑧
（2）設(shè)粒子在兩種情況下，第2n次通過x軸時(shí)離O點(diǎn)的距離分別為S_I、S_II，當(dāng)粒子通過y軸時(shí)速度方向沿y軸負(fù)向時(shí)，由幾何關(guān)系可推算出：SI=n(1+

2

2

)a（n∈N⁺）…⑨
當(dāng)粒子通過：SII=n(1-

2

2

)a（n∈N⁺）…⑩
答：（1）y＜0的區(qū)域內(nèi)磁場的磁感應(yīng)強(qiáng)度大小

2(3- 2 )B0

7

或；
（2）粒子第2n（n∈N⁺）次通過x軸時(shí)離O點(diǎn)的距離（本問只需寫出結(jié)果）．

點(diǎn)評：考查了帶電離子在磁場中的運(yùn)動(dòng)，會(huì)定圓心、找半徑，結(jié)合圓周運(yùn)動(dòng)求相關(guān)量．注意多解問題．