Question

如圖所示，在平行板電容器的兩板之間，存在相互垂直的勻強(qiáng)磁場(chǎng)和勻強(qiáng)電場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度B₁=0.40T，方向垂直紙面向里，電場(chǎng)強(qiáng)度E=2.0×10⁵V/m，PQ為板間中線．緊靠平行板右側(cè)邊緣xOy坐標(biāo)系的第一象限內(nèi)，有垂直紙面向外的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度B₂=0.25T，磁場(chǎng)邊界AO和y軸的夾角∠AOy=45°．一束帶電量q=8.0×10^-19C的同位素正離子從P點(diǎn)射入平行板間，沿中線PQ做直線運(yùn)動(dòng)，穿出平行板后從y軸上坐標(biāo)為（0，0.2m）的Q點(diǎn)垂直y軸射入磁場(chǎng)區(qū)，離子通過x軸時(shí)的速度方向與x軸正方向夾角在45°～90°之間，不計(jì)離子重力，求：
（1）離子運(yùn)動(dòng)的速度為多大？
（2）x軸上被離子打中的區(qū)間范圍？
（3）離子從Q運(yùn)動(dòng)到x軸的最長(zhǎng)時(shí)間？
（4）若只改變AOy區(qū)域內(nèi)磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度大小，使離子都不能打到x軸上，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小B₂′應(yīng)滿足什么條件？

Answer 1

分析：（1）同位素正離子從P點(diǎn)射入平行板間，沿中線PQ做直線運(yùn)動(dòng)，說明所受電場(chǎng)力和洛倫茲力相等，即可求得速度；
（2）粒子進(jìn)入磁場(chǎng)后做圓周運(yùn)動(dòng)，離子通過x軸時(shí)的速度方向與x軸正方向夾角在45°～90°之間，分別根據(jù)幾何關(guān)系求出45°和90°兩個(gè)臨界狀態(tài)的半徑，進(jìn)而求出OM和ON的長(zhǎng)度，即可求得離子到達(dá)x軸的區(qū)間范圍；
（3）所有離子速速都相同，當(dāng)離子運(yùn)動(dòng)路程最長(zhǎng)時(shí)，時(shí)間也最長(zhǎng)，由圖知當(dāng)r=0.2m時(shí)離子運(yùn)動(dòng)時(shí)間最長(zhǎng)，這段時(shí)間分為兩段，一段為勻速圓周運(yùn)動(dòng)的一部分，另一段為勻速直線運(yùn)動(dòng)．
（4）由qvB =

mv2

r

可知當(dāng)r=0.2m時(shí)，同位素離子質(zhì)量最大，帶入即可求出最大質(zhì)量，若質(zhì)量最大的離子不能穿過直線OA，則所有離子必都不能到達(dá)x軸，由圖求出使離子不能打到x軸上的最大半徑，設(shè)使離子都不能打到x軸上，最小的磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B₀，根據(jù)qvB0=

mv2

r

求出B₀，B₂′≥B₀．

解答：解：（1）：離子在兩板間時(shí)有：qE=qvB₁
  解得：v=5.0×10⁵m/s   
（2）當(dāng)通過x軸時(shí)的速度方向與x軸正方向夾角為45°時(shí)，
到達(dá)x軸上的M點(diǎn)，如圖所示，則：
r₁=0.2m     所以：OM=

2

r1=0.2

2

m 
當(dāng)通過x軸時(shí)的速度方向與x軸正方向夾角為90°時(shí)，
到達(dá)x軸上的N點(diǎn)，則：
r₂=0.1m      所以：ON=r₂=0.1m  
所以離子到達(dá)x軸的區(qū)間范圍是0.1m≤x≤0.2

2

m；   
（3）所有離子速速都相同，當(dāng)離子運(yùn)動(dòng)路程最長(zhǎng)時(shí)，時(shí)間也最長(zhǎng)，由圖知當(dāng)r=r₁時(shí)離子運(yùn)動(dòng)時(shí)間最長(zhǎng)，
則：t_m=

πr1

4v

+

r1

v

=7.14×10^-7 s   
（4）由牛頓第二定律有：qvB2=

mv2

r

  則：m=

qrB2

v

   
當(dāng)r=r₁時(shí)，同位素離子質(zhì)量最大：m1=

qrB2

v

=8.0×10-26kg  
若質(zhì)量最大的離子不能穿過直線OA，則所有離子必都不能到達(dá)x軸，由圖可知使離子不能打到x軸上的最大半徑：r3=

0.2

2 +1

m
設(shè)使離子都不能打到x軸上，最小的磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B₀，則
 qvB0=

m1v2

r3

解得  B₀=

2 +1

4

T=0.60T      
則：B₂?≥0.60T   
答：（1）離子運(yùn)動(dòng)的速度為5.0×10⁵m/s；
（2）x軸上被離子打中的區(qū)間范圍為0.1m≤x≤0.2

2

m；
（3）離子從Q運(yùn)動(dòng)到x軸的最長(zhǎng)時(shí)間為7.14×10^-7 s；
（4）若只改變AOy區(qū)域內(nèi)磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度大小，使離子都不能打到x軸上，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小應(yīng)滿足B₂?≥0.60T．

點(diǎn)評(píng)：該題主要考查了帶電粒子在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)．要求同學(xué)們能正確畫出粒子運(yùn)動(dòng)的軌跡，并根據(jù)幾何關(guān)系求得軌道半徑，能用向心力公式和周期公式解題，難度較大，屬于難題．