Question

10．如圖（甲）所示，左側(cè)接有定值電阻R=2Ω的水平粗糙導軌處于垂直紙面向外的勻強磁場中，磁感應強度B=1T，導軌間距為L=1m，一質(zhì)量m=2kg，阻值r=2Ω的金屬棒在拉力F作用下由靜止開始從CD處沿導軌向右加速運動，金屬棒與導軌間動摩擦因數(shù)μ=0.25，g=10m/s²．金屬棒的速度-位移圖象如圖（乙）所示，求從起點發(fā)生s=1m位移的過程中．

（1）通過電阻R的感應電量q；
（2）整個系統(tǒng)產(chǎn)生的總熱量及拉力所做的功；
（3）在研究金屬棒從起點運動到s=1m位移過程所用的時間t時，某同學這樣求解：
金屬棒在運動過程中平均速度v=$\frac{{v}_{0}+{v}_{1}}{2}$=1m/s，
所以時間t=$\frac{s}{v}$=1s
請問該同學的求解是否正確，如果正確，說明理由；如果不正確，請指出錯誤原因，并給出運動時間的范圍．

Answer 1

分析 （1）由感應電荷量公式q=$\frac{△Φ}{R+r}$，求出通過電阻R的感應電量q；
（2）由速度圖象得出v與x的關(guān)系式，由安培力公式F_A=$\frac{{B}^{2}{L}^{2}v}{R+r}$，得到F_A與x的關(guān)系式，可知F_A與x是線性關(guān)系，即可求出發(fā)生s=1m位移的過程中安培力做功W_A=-$\overline{{F}_{A}}$s，再根據(jù)動能定理求解拉力做功；根據(jù)能量守恒求解整個系統(tǒng)產(chǎn)生的總熱量Q；
（3）由v-x圖象的斜率k=$\frac{△v}{△x}$=$\frac{△v}{△t}•\frac{△t}{△x}$=$\frac{a}{v}$，分析加速度的變化，結(jié)合速度-時間圖象分析時間．

解答 解（1）通過電阻R的感應電量q=$\frac{△Φ}{R+r}$=$\frac{BLs}{R+r}$=$\frac{1×1×1}{4}$C=0.25C．
（2）由速度圖象得：v=2x，
金屬棒所受的安培力F_A=$\frac{{B}^{2}{L}^{2}v}{R+r}$=$\frac{{B}^{2}{L}^{2}•2x}{R+r}$，
代入數(shù)據(jù)得：F_A=0.5x，則知F_A與x是線性關(guān)系．
當x=0時，安培力F_A1=0；當x=1m時，安培力F_A2=0.5N，則從起點發(fā)生s=1m位移的過程中，安培力做功為：
W_A=-$\overline{{F}_{A}}$s=$-\frac{{F}_{A1}+{F}_{A2}}{2}s$=-$\frac{0+0.5}{2}×1$J=-0.25J
根據(jù)動能定理得：W-μmgs+W_A=$\frac{1}{2}m{v}^{2}$，
其中v=2m/s，μ=0.25，m=2kg，
代入數(shù)據(jù)解得，拉力做的功W=9.25J．
根據(jù)能量守恒得：W=Q+$\frac{1}{2}m{v}^{2}$，得Q=W-$\frac{1}{2}m{v}^{2}$=9.25J-$\frac{1}{2}×2×{2}^{2}$J=5.25J
（3）該同學的解法是錯誤的，原因是金屬棒做的運動不是勻變速直線運動，平均速度不等于初末速度的平均值；
正確的解法為：
v-x圖象的斜率k=$\frac{△v}{△x}$=$\frac{△v}{△t}•\frac{△t}{△x}$=$\frac{a}{v}$，得a=kv=2v，則知速度增大，金屬棒的加速度也隨之增大，v-t圖象的斜率增大，金屬棒做加速增大的變加速運動，在相同時間內(nèi)，達到相同速度時通過的位移小于勻加速運動的位移，平均速度小于勻加速運動的平均速度，即$\overline{v}$＜$\frac{0+v}{2}$=$\frac{0+2}{2}m/s$=1m/s，則t=$\frac{s}{\overline{v}}$$＞\frac{1}{1}s$=1s
答：（1）通過電阻R的感應電量是0.25C；
（2）整個系統(tǒng)產(chǎn)生的總熱量是5.25J，拉力所做的功是9.25J；
（3）該同學的求解是錯誤的，原因是金屬棒做的運動不是勻變速直線運動，平均速度不等于初末速度的平均值；運動時間的應大于1s．

點評 本題有兩個難點：一是根據(jù)v與x的關(guān)系，由安培力公式F_A=$\frac{{B}^{2}{L}^{2}v}{R+r}$，得到F_A與x的關(guān)系式，確定出F_A與x是線性關(guān)系，即可求出安培力做功；二是根據(jù)v-x圖象的斜率研究加速度的變化情況，結(jié)合v-t圖象分析平均速度．