Question

為了驗(yàn)證地面上的重力、地球吸引月球與太陽吸引行星的力遵循同樣的“距離平方反比”規(guī)律，牛頓為此做了著名的“月一地”檢驗(yàn)．牛頓根據(jù)檢驗(yàn)的結(jié)果，把“距離平方反比”規(guī)律推廣到自然界中任意兩個(gè)物體間，發(fā)現(xiàn)了具有劃時(shí)代意義的萬有引力定律．
“月一地”檢驗(yàn)分為兩步進(jìn)行：
（1）理論預(yù)期：假設(shè)地面的地球吸引力與地球吸引月球繞地球運(yùn)行的引力是同種力，遵循相同的規(guī)律．設(shè)地球半徑和月球繞地球運(yùn)行的軌道半徑分別為R和r（已知r=60R）．那么月球繞地球運(yùn)行的向心加速度a_n與地面的重力加速度g的比值

an

g

=

1

3600

（用分式表示）．
（2）實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)驗(yàn)算：月球繞地球運(yùn)行的軌道半徑r=3.8×10⁸m，月球運(yùn)行周期T=27.3天，地面的重力加速度為g=9.8m/s²，由此計(jì)算月球繞地球運(yùn)行的向心加速度a′與地面的重力加速度g的比值

a′

g

=

1

3643

（用分式表示）．
若理論預(yù)期值與實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)驗(yàn)算值符合，表明，地面物體所受地球的引力、月球所受地球的引力，與太陽、行星間的引力，真的遵從相同的規(guī)律！

Answer 1

分析：（1）根據(jù)足mg=G

Mm

R2

、G

Mm

r2

=man，求出月球繞地球運(yùn)行的向心加速度a_n與地面的重力加速度g的比值．
（2）通過a=r(

2π

T

)2求出月球向心加速度的大小，從而求出向心加速度與地面重力加速度的比值．

解答：解：（1）假設(shè)地面的地球吸引力與地球吸引月球繞地球運(yùn)行的引力是同種力，即地面的重力滿足mg=G

Mm

R2

．則g=

GM

R2

對(duì)于月球，有：G

Mm

r2

=man，則an=

GM

r2

所以

an

g

=

R2

r2

=

1

3600

．
（2）因?yàn)?span dealflag="1" class="MathJye" mathtag="math" style="whiteSpace:nowrap;wordSpacing:normal;wordWrap:normal">a ′=r(

2π

T

)2，則

a′

g

=

r( 2π T )2

g

=

3.8×108×( 2×3.14 27.3×24×3600 )2

9.8

≈

1

3643

．
故答案為：（1）

1

3600

；（2）

1

3643

．

點(diǎn)評(píng)：解決本題的關(guān)鍵掌握月地檢驗(yàn)的原理，掌握萬有引力等于重力和萬有引力提供向心力這兩個(gè)理論，并能靈活運(yùn)用．